§ 2. Односторонние пределы функции

Пусть а и А — конечные числа.

Определение. Число А называют правым пределом функции при и пишут: или , если для любого, сколь угодно малого, числа можно указать число такое, что как только и , так сейчас же (т. е. для всех оказывается ; здесь — правая полуокрестность точки а).

Определение. Число А называют левым пределом функции при и пишут: или , если для любого, сколь угодно малого, числа можно указать число такое, что как только и , так сейчас же (т. е. для всех оказывается ; здесь — левая полуокрестность точки а).

Замечание 1. Справедливы утверждения:

1) если у функции при существует предел А в обычном смысле, т. е. двусторонний, то существуют оба односторонних предела: и , причем оба они равны А;

2) если у функции при существуют оба односторонних предела: и и оба они равны числу А, то у при существует двусторонний предел, равный указанным односторонним пределам, т. е. числу А.

В качестве упражнения утверждения 1) и 2) предлагается доказать самостоятельно.

Замечание 2. В определении односторонних пределов функции при число А предполагалось конечным. Отметим, что А может быть и числом несобственным: или .

§ 3. Предел отношения синуса к своей дуге

Установим, что

. (1)

► Так как , то , если эти пределы существуют.Поэтому, чтобы установить (1), достаточно доказать, что существует и равен 1 хотя бы один односторонний предел функции при , например, правый, т. е. достаточно доказать, что

. (2)

Так как мы станем устанавливать справедливость соотношения (2), то можно рассматривать лишь значения , удовлетворяющие неравенству: . В круге радиуса рассмотрим угол , радианная мера которого ; хорду и касательную к окружности в точке А (см. рис. 3.1). Имеем очевидные неравенства: площадь < площади сектора < площади (при этом мы пользуемся теми сведениями о площадях элементарных фигур, которые известны из школьного курса), или

,

откуда

. (3)

Рис. 3.1. К выводу формулы (1)

Разделим каждый из членов неравенства (3) на (). Получим

.

Вычитая из 1 каждый из членов последнего неравенства, будем иметь

. (4)

Но (в силу(3)). Следовательно, вместо неравенства (4) будем иметь

. (5)

Возьмем — любое, сколь угодно малое (можно считать, что ). Ясно, что если положить (), то для всех , удовлетворяющих неравенству , будет

,

ибо если , то . Значит, , если . Последнее означает, что . Видим, что соотношение (2) установлено, а значит, доказано и соотношение (1). ◄

§ 4. Число e

Определение. Числом е называется предел переменной

при натуральном, стремящемся к бесконечности.

Чтобы оправдать это определение, надо установить, что у переменной существует конечный предел при . Мы установим, что существует, конечный, если покажем, что переменная — возрастающая и ограниченная сверху.

► 1. Покажем, что переменная — возрастающая.

Применяя формулу бинома Ньютона, -й член последовательности можно написать в виде

,

или

. (2)

Аналогично, для -го члена последовательности находим

. (3)

Заметим, что правая часть соотношения (2) имеет слагаемых, а правая часть (3) имеет слагаемых.

Сравнивая и , видим, что первые слагаемые в правых частях (2) и (30 одинаковы, второе, третье и т д. -е слагаемое у больше, чем у , ибо

.

Кроме того, в составе имеется еще -е слагаемое, которого в составе нет и которое является числом положительным. Значит , для любого , и, следовательно, переменная — возрастающая.

2. Покажем теперь, что переменная ограничена сверху. Для этого снова воспользуемся формулой (2). Заменим все разности, стоящие в скобках в правой части этой формулы, на единицы, отчего правая часть увеличится (ведь каждая такая разность меньше единицы). Получим

.

Но

.

Поэтому и подавно

.

Так как

,

то получаем , для любого , т. е. переменная ограничена сверху. (Из формулы (2) видно, что и, следовательно, при всех .)

Итак, показано, что переменная монотонно возрастает и ограничена сверху. Поэтому существует конечный , величина которого заключена между числами 2 и 3. Этот предел обозначается буквой e. ◄

Число е играет большую роль в математическом анализе и его приложениях. Доказано, что е — число иррациональное. Имеются приемы, позволяющие вычислить любое число знаков в его представлении бесконечной десятичной дробью. При этом установлено, что

е = 2,718281828459045... .

Рассмотрим теперь переменную , где — положительные числа, большие 2 ( — не обязательно целые).

Справедливо утверждение: если , то

.

► 1. Рассмотрим сначала случай, когда все значения переменной являются целыми положительными числами. Возьмем — любое, сколь угодно малое.

Мы знаем, что . Значит, взятому отвечает номер такой, что для всех будет

.

По условию . Поэтому можно утверждать, что, начиная с некоторого места, т. е. при () будет: . У нас, по предположению, все значения переменной — целые положительные числа. Поэтому при всех будет иметь место неравенство

.

А это означает, что .

Отметим, что даже в рассмотренном случае переменная не обязательно монотонно возрастающая.

2. Пусть теперь значения переменной — положительные числа, большие 2, не обязательно целые.

Пусть ( — наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству: ). Ясно, что ; , если . Имеем

.

А тогда

(4)

Имеем

;

.

А тогда из (4), по теореме о сжатой переменной, находим

.

Подчеркнем еще раз, что здесь переменная — любая стремящаяся к . ( может и не быть монотонной). ◄