§ 20. Точки разрыва функций и их классификация

Мы знаем, что функция , определенная в точке и некоторой окрестности этой точки, называется непрерывной в точке , если

. (1)

Если же в точке это двойное равенство не выполняется, то точку называют точкой разрыва функции . Точками разрыва будем называть также точки, в которых не определена, но в любой -окрестности которых имеются точки области определения функции .

Могут реализоваться следующие случаи.

1. Существуют конечные

и ,

но . В этом случае точку называют точкой разрыва первого рода. Разность называют скачком функции в точке .

Рассмотрим, например, функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . Отметим, что в любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем

;.

Видим, что и существуют, конечные и что . Значит, точка есть точка разрыва первого рода функции , причем — величина скачка функции в точке .

2. В точке не существует хотя бы один из односторонних пределов функции или в точке хотя бы один из односторонних пределов функции бесконечен. В этом случае точку называют точкой разрыва второго рода.

1) Рассмотрим функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . Отметим, что в любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем

;

.

Вывод: точка есть точка разрыва второго рода функции .

2) Рассмотрим функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . Отметим, что в любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем

; .

Вывод: точка есть точка разрыва второго рода функции .

3) Рассмотрим функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . В любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем: — не существует; — не существует.

Вывод: точка есть точка разрыва второго рода функции .

3. Существуют конечные

и ,

причем , но в точке функция или не определена, или ее частное значение не равно общему значению односторонних пределов. В этом случае точку называют точкой устранимого разрыва.

Рассмотрим функцию . Эта функция определена всюду, за исключением точки . В любой -окрестности точки имеются точки области существования функции . Значит, точка есть точка разрыва функции . Имеем

; .

Видим, что ( не существует).

Вывод: точка есть точка устранимого разрыва функции

Замечание. Если функция имеет в точке разрыв указанного типа, то этот разрыв можно устранить. Для этого нужно доопределить функцию в точке , приняв за значение функции в точке ее предельное значение в этой точке. Так, если в рассмотренном примере положить , то , и функция будет непрерывной в точке .

145

93