§ I7. Аналитические методы расчета переходных процессов

Механические переходные процессы описываются обычно линейными дифференциальными уравнениями первого порядка, решение которых относительно определяемого неизвестного дает функциональную зависимость его от аргумента в виде алгебраического уравнения. Однако следует иметь в виду, что интегрирование дифференциальных уравне­ний становится возможным только тогда, когда действующие в систе­ме правда моменты, являются постоянными или известно аналитичес­кое выражение зависимости их от угловой скорости двигателя.

Таким образом, при выборе метода расчета переходных процес­сов основным является ее принцип работы двигателя, а характер механических характеристик электропривода. Для приводов постоянного и переменного тока, работающих на прямолинейных участках механических характеристик, могут быть применены одни и те же метода ра­счета (расчетные уравнения).

Решение дифференциальных уравнений механического и электрического равновесий электропривода, записанных для разгона двигателя при наиболее часто встречающихся обычных условиях пуска, при М_СТ = const и прямолинейных механических характеристиках дви­гателя (рис. 17) получим в виде выражений изменения:

– скорости

– тока

– момента

– скольжения

Здесь ω_НАЧ.Х, I_НАЧ.Х, M_НАЧ.Х, s_НАЧ.Х – параметры электродвигателя, при которых он начинает раз­гоняться на данной х-й ха­рактеристике;

Ω_СТ.Х, I_СТ.Х, M_СТ.Х, s_СТ.Х – параметры электродвигателя, соответствующе установивше­муся режиму работы на х-й характеристике;

Т_МЛ – электромеханическая постоянная, имеющая самостоятель­ное значение для каждой х-й характеристики (ступени пуска).

Как следует из полученных выражений, на каждой ступени пуска указанные величины изменяются по экспоненциальному закону. Анало­гичные законы изменения основных параметров электропривода в пе­реходных режимах можно получить при решении дифференциальных урав­нений, описывавших другие (в том числе и тормозные) режимы элект­ропривода.

Расчетные значения скорости, момента и скольжения для полу­чения конечных результатов берут из соответствующих механических характеристик. Соответствующие им токи определяют из выражений:

– для двигателей постоянного тока независимого возбуждения

где I_а – ток в якоре при заданных значениях момента и скорости;

R_a – сопротивление якорной цепи, в которой протекает ток

– дня асинхронных двигателей с фазным ротором

где I₁ – ток статора, соответствующий скольжению s и моменту М;

I_H, M_H, s_Н.Х. – номинальные значения тока, момента и скольже­ния при работе двигателя на расчетной х-й ха­рактеристике;

I₀ – ток холостого хода двигателя, определяемый по формуле

Для определения электромеханической постоянной Т_M необходимо знать приведенное к валу двигателя значение момента инерции систе­мы электродвигатель – рабочий механизм J_ПР. Общую формулу для определения J_ПР можно записать в следующем виде:

где к = 1,1 - 1,3 - коэффициент, учитывающий инерционность махо­вых масс элементов кинематической передачи, вращающихся не на валу двигателя;

m – масса поступательно движущихся со скоростью v частей установки;

– передаточное число.

Следует иметь в виду, что приведенное значение момента инерции J_ПР изменяется с изменением нагрузки механизма.

Решив любое из уравнений (94) – (97) относительно t, можно определить время изменения величины от начального до конечного значения.

Так, решение уравнения (94) дает

(102)

а уравнение (96) –

(103)

При реостатном пуске двигателя, пользуясь, например, уравнением (94), можно определить время разгона двигателя на каждой пусковой характеристике (ступени). При этом следует иметь в виду, что начальная скорость ω_НАЧ = 0 (рис. 17) и что на естественной характеристике (последняя ступень) из уравнения (94) определится время разгона двигателя лишь до скорости ω_{КОН З}, по которой ус­ловившийся режим еще не наступает. Двигатель будет продолжать разгоняться до скорости ω_{СТ З} под действием динамического момента М_ДИН = М – М_СТ постепенно уменьшающегося до нуля. Поэтому разгон до конечной скорости, которой на последней ступени является ω_СТ, будет продолжаться бесконечно длительное время. Однако с достаточной для практических расчетов точностью переходный про­цесс считает закончившимся, когда скорость или момент будут отличаться от конечного значения не более чем на 2% от полного изме­нения величины за время разгона на данной ступени, т.е.

При разгоне из неподвижного состояния ω_КОН = 0,98 ω_СТ.

Подставив значение ω_КОН или М_КОН из уравнения (104) или (105) соответственно в уравнение (102) или (103), получим

(106)

Таким образом, время разгона электропривода на последней сту­пени пуска следует принимать равным четырехкратному значению по­стоянной времени Т_М, определенной для этой ступени.

Пользуясь приведенными формулами можно построить графики из­менения скорости, момента и тока за время переходного процесса (пуска), т.е.

Для этого из выражения (102) или (103) определяют время раз­гона двигателя на каждой ступени от начальной до конечной скоро­сти или изменения момента от М_НАЧ до М_КОН, которые берут из пу­сковой диаграммы. Удобно пользоваться внесением (103), так как величины М_НАЧ, М_КОН, и М_СТ для всех ступеней будут иметь од­но и то же значение. Тогда

Изменяться же будет лишь величина Т_М, определяемая для каж­дой х–й ступени из выражений:

- для двигателя с независимым возбуждением

(107)

- для асинхронного двигателя (без учета кривизны механичес­ких характеристик)

(108)

Время разгона на каждой х-й ступени, таким образом, будет

(109)

Полное время переходного процесса определится как сумма всех t_Х, т.e,

При расчете зависимости I = f(t) граничные величины тока на­ходят по поведенным выше уравнениям (98) и (99) для взятых из пу­сковой диаграммы значений момента и скорости (скольжения).

Промежуточные точки кривых изменения скорости, тока и момен­та во времени рассчитывают соответственно по (94), (95), (96) и (97). В зависимости от выбранного масштаба и времени работы, на той или иной ступени следует брать две-четыре промежуточные точки.

Аналогично рассчитывают переходные процессы при торможении двигателей, работающих на прямолинейных механических характеристиках.

Прямолинейные механические характеристики, как известно, имеют двигатели постоянного тока с независимым (параллельным) возбуждением. С некоторым приближением можно считать прямолинейными механические характеристики асинхронных двигателей с фазным ротором в пределах нагрузок, не превышающих 0,7 М_КР, и особенно при вклю­чении в цепь ротора значительных сопротивлений.

Приведенные методы расчета переходных процессов ни в коем случае не применимы к асинхронным двигателям с короткозамкнутым ротором.