Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.

В случае одночленной степенной зависимости сил сопротивления от скорости диссипативная функция

будет однородной функцией (m+1) степени от обобщенных скоро­стей. Отметим, что m = 0 соот­ветствует кулонову (сухому) трению, m=1—силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости (случай Релея), m = 2 — силам квадратичного сопротивления. В случае малых колебаний системы, в принятом в предыдущем параграфе приближении, следует принять m=1. Тогда имеем

(3.55)

Сравнивая (3.55) с формулой для кинетической энергии , заметим, что они отличаются лишь коэффициентами и , следовательно, для малых колебаний системы с одной степенью свободы получаем (по аналогии с (3.52), заменяя А(0) соответствующим коэффициентом В(0))

В принятом приближении диссипативная функция имеет вид

, (3.56)

(здесь b=В(0)). Уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид

.

Подставляя в него ранее полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий , а также для диссипативной функции, получаем дифференциальное уравнении колебаний

,

которое в обычном виде записывается так

, . (3.57)

Это линейное, однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, для решения которого необходимо получить характеристическое уравнение . Корнями уравнения будут служить величины

Естественно рассмотреть отдельно следующие три случая дви­жения.

1. Затухающее колебательное движение (n<k). Если n<k, то корни характеристического уравнения пред­ставятся так:

и

и, следовательно, общий интеграл уравнения (3.57) будет:

(3.58)

Составим первую производную по времени

(3.59)

и используем для определения постоянных интегрирования началь­ные условия:

при t=0.

Подставляя эти значения координаты и скорости в (3.58) и (3.59), найдем:

(3.60)

или после выделения амплитуды:

где для краткости положено

Из уравнения движения в конечном виде (45) следует, что перио­дически меняет знак, так что движение точки имеет колебатель­ный характер. Период колебания равен

где представляет период свободных колебаний точки при отсутствии сил сопротивления. График затухающих колебаний представлен на рисунке, τ на рис.- есть период колебаний. Пунктирная линия, огибающая график .

Абсолютные величины максимальных отклонений образуют, геометрическую прогрессию со знаменателем . Действительно

Натуральный логарифм отношения двух последовательных ампли­туд носит наименование логарифмического декремента; он равен

2. Апериодическое движение (n>k). При достаточно большом сопротивлении, когда , общий интеграл урав­нения (3.57) будет:

Движение не будет носить колебательного характера (оно назы­вается поэтому апериодическим).

Полученному решению можно придать другой вид, если воспользоваться гиперболическими функциями . Пусть .

Тогда

Составим первую производную по времени

и используем для определения постоянных интегрирования началь­ные условия:

при t=0. Подставляя эти значения координаты и скорости найдем

(3.61)

Вследствие бы­строго убывания показательной функции величина будет весьма мала уже при небольших t, и систему можно практически считать вернувшейся в положение равновесия. Характер движения зависит от начальных условий. Графики движения системы представлены на рисунке. В случае а) , в случае б) и в) . Случаи а) и б) соответствуют апериодическому движению пер­вого рода, случай в) — апериодическому движению второго рода.

3. Предельное апериодическое движение (). Общий интеграл уравнения (3.57) в данном случае будет иметь вид

Началь­ные условия: при t=0. Получим

(3.62)

График изменения такой же как и для апериодического движения () .