Статический принцип возможных перемещений.

Статический принцип возможных перемещений формулируется так: необходимое и достаточное условие равновесия системы, под­чиненной стационарным идеальным, двухсторонним, голономным связям,- заключается в равен­стве нулю суммы элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия.

Обозначим через равнодействующую задаваемых сил, прило­женных к какой-нибудь точке системы, через возможное перемещение этой точки и через сумму элементарных работ задаваемых сил на возможном перемещении системы. Тогда анали­тическое выражение принципа возможных перемещений будет иметь вид: (3.7)

Чтобы доказать необходимость принципа, предположим что несвободная система, подчиненная стационарным связям, находится в положении равновесия. Тогда каждая ее точка находится в равно­весии и, по принципу освобождаемости, равнодействующая заданных сил и реакций связи , приложенная к какой-либо точке должна быть равна нулю. Равна нулю будет и работа этой равно­действующей, так что

или

но вторая сумма равна нулю по условию идеальности связей; сле­довательно, необходимость принципа доказана.

Для доказательства достаточности принципа, т. е. существова­ния равновесия при выполнении условия (3.7), рассуждение ведется от обратного. Предположим, что условие (3.7) выполнено, а система в рассматриваемом положении все же не находится в равновесии. Тогда система, если в начальный момент представить себе ее покоя­щейся, под действием задаваемых сил и реакций связи придет в дви­жение и за малый промежуток времени совершит некоторое дейст­вительное перемещение, входящее в случае стационарных связей в число возможных. Тогда возможная кинетическая энергия и при этом будет совершена положитель­ная работа . Разбивая на две суммы, получим:

но вторая сумма по условию идеальности связей равна нулю, сле­довательно,

что противоречит принятому предположению (3.7), что и требовалось доказать.

Можно показать, что необходимым и достаточным условием равновесия системы сил являются хорошо известные из статики соотношения. Действительно

,

Тогда среди возможных конфигураций системы можно всегда выбрать такие, что , тогда должно быть , а если то : необходимым и достаточным условием равновесия является равенство нулю главного вектора и главного момента системы сил

. (3.8)

Если задаваемые силы консервативны, т. е. существует потен­циальная энергия П = П, то

при этом выражение принципа возможных перемещений (52) приве­дется к равенству

=0, (3.8)

выражающему необходимое условие экстремальности потенциаль­ной энергии в положении равновесия системы. Следовательно, из принципа возможных перемещений вытекает, что необходимые и достаточные условия равновесия несвободной системы с идеаль­ными связями под действием консервативных задаваемых сил совпадают с необходимым (но не достаточным) условием экстре­мума потенциальной энергии.

Составим выражение статического принципа возможных перемещений в обобщённых координатах.

Вектор-радиус любой точки системы может быть выражен через обобщенные координаты по формулам , возможные перемещения определятся как вариации вектор-ради­усов

(3.9)

Тогда работа сил на возможных перемещениях запишется в виде

, (3.10),

где представляет выражение

(3.11)

называемое обобщённой силой. Для нахождения обобщённой силы, надо составить выражение возможной работы в обобщённых координатах; полученные коэффициенты при возможных перемещениях и есть соответствующие этим координатам обобщённые силы. Если задаваемые силы консервативны, то, выразив предварительно потенциальную энергию через обобщённые координаты, по (3.9) получим

. (3.12)

Если обобщённые координаты выбраны независимыми, то обобщённые возможные перемещения в числе, равном числу степеней свободы, будут произвольны. Тогда из равенства (3.10) следует, что все коэффициенты при произвольных величинах должны по отдельности быть равными нулю:

(3.13)

Итак, необходимое и достаточное условие равновесия несвободной системы с голономными, идеальными, стационарными, двухсторонними связями заключается в равенстве нулю всех соответствующих независимым обобщённым координатам обобщённых сил в рассматриваемом положении равновесия системы. Полагая в этом случае, что потенциальная энергия П задаваемых сил также выражена через обобщённые координаты, будем иметь по (3.12) и (3.13) условия равновесия системы в виде

. (3.14)

Эти равенства выражают необходимое условие экстремума потенциальной энергии в положении равновесия системы.

Рассмотрим пример: определить соотношение между моментом М0 и силой Q, если угол ОВА равен α, а угол ВОА - β. ОА=L.

Дадим системе возможное перемещение по направдлению момента и против направления силы Q, тогда, согласно статическому принципу возможных перемещений, имеем

.

Шатун АВ совершает плоско-параллельное движение, и для получения зависимости между можно применить два способа: первый- проекции перемещений концов отрезка на направление отрезка равны, следовательно

или

Подставляя полученное равенство в основное уравнение, получаем

.

Так как любое возможное перемещение, то .

Второй способ – использование определении мгновенного центра скоростей (мцс). В нашем примере (мцс) находится на пересечении продолжения отрезка ОА и перпендикуляра к ОВ, проведённого из точки В (пусть мцс находится в точке Р). Если обозначить через поворот относительно мцс, то можно записать и , откуда следует . По теореме синусов из треугольника ОАВ имеем или . Получаем тот же результат.