Диссипативная функция.

К числу диссипативных сил относятся силы сопротивления дви­жению точек системы, направленные противоположно их скоростям. Мы рассмотрим случай сил сопротивления, представимых в виде

, (3.26)

где — величина скорости точки ; и — положительные функции от обобщенных координат и соответственно от скоростей . По (3.10) и (3.20) (первое тождество Лагранжа) соответствующие этим силам обобщенные силы определяются равенствами

, .

Заметив, что

,

находим

(3.27)

где через Ф обозначена величина, называемая диссипативной функцией

(3.28)

Заметим, что Ф>0, так как подынтегральные функции положи­тельны. Диссипативная функция была введена в классическом труде Релея «Теория звука» для сил сопротивления, пропорциональных первой степени скорости. Здесь это понятие обобщено на силы более общего вида. В случае одночленной степенной зависимости сил сопротивления от скорости диссипативная функция

(3.29)

будет однородной функцией (m+1) степени от обобщенных скоро­стей, которую легко выразить через мощность диссипативных сил

(3.40)

Здесь применена теорема Эйлера об однородных функциях. Отметим, что m = 0 соот­ветствует кулонову (сухому) трению, m=1—силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости (случай Релея), m = 2 — силам квадратичного сопротивления.

При составлении обобщенных сил по формуле (3.27) необходимо иметь в виду, что дифференцируются выражения, содержащие модуль обобщенных скоростей. Например, при сопротивлении, пропорцио­нальном четной степени скорости и n =1 (одна степень свободы)

(3.41)

где означает знак функции φ (= 1, если φ > 0 и

=-1, если φ < 0).

Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.

Докажем, что кинетическая энергия является квадратичной функцией обобщенных скоростей. Для этого заметим

и полная кинетическая энергия будет равна

где - функция нулевой степени относительно обобщенных ско­ростей, - линейная функция обобщенных скоростей , где обозначено , наконец, , - функция второй степени от обобщенных скоростей, где .

Из определения функций следует, что ; величины с двумя индексами, обладающие таким свойством, называют сим­метричными.

Если связи стационарны, то не зависит явно от времени; тогда, очевидно,

,

и выражение кинетической энергии сводится к квадратичной форме от обобщённых скоростей, коэффициенты которой зависят от обобщённых координат.

(3.43)