Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.

Свободная точка описывается дифференциальным уравнением

, (3.15)

где - равнодействующая задаваемых сил, приложенных к точке . Рассмотрим несвободную систему с идеальными голономными связями. Обозначая, как и раньше, массы точек через , равнодействующую задаваемых сил через , ускорение точки - , реакции связей через , возможные перемещения через . Тогда уравнения движения точки запишется в виде

. (3.16)

Вычитая (3.16) из (3.15), получим

Умножим каждое из полученных уравнений на возможное перемещение и просуммируем по всем точкам системы

. (3.17)

В случае идеальных связей правая часть уравнения (3.17) равна нулю, тогда с учётом (3.15) имеем

. (3.18)

Это основное, как мы дальше увидим, для всей динамики несвободной системы полученное уравнение получило название общего уравнения динамики.

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода представляют дифференциаль­ные уравнения несвободной системы, составленные в обобщенных координатах. Наибольшее распространение получили уравнения в не­зависимых обобщенных координатах, — их обычно и называют урав­нениями Лагранжа второго рода, а иногда просто уравнениями Лагранжа, так как уравнениями Лагранжа первого рода пользу­ются сравнительно редко.

Рассмотрим систему с n степенями свободы, подчиненную идеаль­ным голономным связям. Положение системы в пространстве будем определять n независимыми обобщенными координатами . Вектор-радиус любой точки системы может быть выражен через обобщенные координаты и время, если связи нестационарны, по формулам , а возможные перемещения определятся как вариации вектор-ради­усов;

.

Так как все обобщённые координаты считаем независимыми, то все представляют произвольные бесконечно малые величины. Докажем предварительно два тождества Лагранжа.

Составим выражения векторов скоростей точек системы:

(3.19)

Производные обобщенных координат по времени, т. е. вели­чины называются обобщенными скоростями. Формулы (3.19) показывают, что скорость любой точки линейно выражается через обобщенные скорости, Поэтому, обозначая через к произвольный индекс, изменяющийся от 1 до n, будем иметь:

(3.20)

Это первое тождество Лагранжа. Докажем второе тождество

(3.21)

Для этого, дифференцируя обе части (3.19) по , получим

С другой стороны, составим непосредственно

Сравнивая последние два равенства, убеждаемся в справедливости соотношения (3.21). Обратимся к общему уравнению динамики (3.18) и перепишем его в виде

(3.22)

Первая сумма уже была выражена через обобщенные коорди­наты (3.11); она равна , где Qj — обобщенная сила. Что касается второй суммы в уравнении (3.22), то ее можно пре­образовать, пользуясь (3.9) и меняя порядок суммирования:

(3.23)

скалярное произведение под знаком суммы преобразуется к виду

(3.23а)

или по формулам (3.20) и (3.21)):

.

Подставляя последнее выражение в круглую скобку правой части равенства (3.23) и замечая, что сумма определяет кинетическую энергию системы, получим:

Уравнение (3.18) теперь перепишется так:

(3.24)

Последнее равенство может выполняться при произвольных , только если все круглые скобки равны нулю. Таким образом, мы приходим к уравнениям Лагранжа второго рода, составленным в независимых обобщенных координатах для системы с голономными связями:

(3.25)

Уравнения (3.25) представляют совокупность n (по числу степеней свободы) обыкновенных дифференциальных уравнений второго по­рядка с n независимыми обобщенными координатами, являющимися искомыми функциями времени. При составлении уравнений Лагранжа второго рода (3.25) при­ходится прежде всего разыскивать выражение кинетической энергии через обобщенные скорости и координаты и, кроме того, через время, если связи нестационарны. Оператор

(3.26)

носит название оператор Эйлера-Лагранжа. Уравнению Лагранжа второго рода можно дать и другое доказательство. Как указывалось выше, положение любой точки можно представить в виде , где n - число независимых обобщённых координат, равное, в нашем случае, числу степеней свободы системы. Тогда и величину можно представить как направление вдоль координатной линии . Спроектируем основное уравнение динамики точки на это направление

(при этом есть сумма всех сил: внешних и внутренних, действующих на точку) и сложим все полученные проекции.

(3.27)

Справа в выражении (3.27) стоит по (3.11) обобщённая сила, а слева выражение (3.23а). Проведя аналогичные преобразования, получаем уравнение Лагранжа второго рода.

.

Пример. Рассмотрим задачу о колебаниях стержня массы m и длины l, подвешенного в точке D к вращающемуся вокруг вертикальной оси АВ стержню АВD. Момент инерции стержня АВD равен J. За обобщённые координаты выберем углы и φ. Кинетическая энергия системы в общем виде запишется в форме

,

Здесь - скорость центра стержня, - вектор угловой скорости стержня, -тензор инерции стержня относительно центра С. Подставив введённые обозначения в формулу для кинетической энергии, получим

Проведя несложные преобразования, запишем кинетическую энергию в виде

Совсем нетрудно получить и выражение для возможной работы сил: момента и силы тяжести . .

Обобщённые силы будут . Составим уравнения движения с помощью уравнения Лагранжа второго рода:

; обозначим , и , тогда и первое уравнение имеет вид

.

Второе уравнение будет

.