Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.

Соударение тел — это слож­ный процесс, определяющими факторами которого являются форма тела и скорость соударения. Наиболее простая и совер­шенная форма тела — шар. Поэтому из всех известных в настоя­щее время теорий удара самой простой и совершенной является теория Герца соударения шаров. Предположим, что до уда­ра шары движутся поступа­тельно со скоростями, направ­ленными по прямой, соединя­ющей их центры. Будем счи­тать, что эта прямая совпадает с неподвижной осью z (рис.), причем координата центра масс первого шара всег­да меньше координаты цент­ра масс второго. Если скорость первого шара с радиу­сом больше скорости второго шара с радиусом , то в некоторый момент , когда шары коснутся друг друга в одной точке, произойдет соударение. Развивающуюся при ударе контактную силу P(t) назы­вают ударной силой. В принятых обозначениях уравнения дви­жения центров масс шаров имеют вид

.

Отсюда

(3.74)

где — приведенная масса.

Расстояние между центрами масс шаров при со­ударении равно , т.е. . Уравнение с учетом сказанного принимает вид

(3.75)

Величину α, равную относительному смещению центров масс шаров, принято называть местным смятием. Термин «смятие» употребляется здесь не потому, что деформации предполагаются пластическими, а потому, что относительное перемещение шаров при силовом контакте происходит в основном вследствие дефор­мации (смятия) их в зоне контакта.

Задача о статическом сжатии шаров в рамках классической теории упругости была решена Герцем в 1881 г. Решение это очень красиво, но сложно. Полученное решение показывает, что деформации быстро затухают по мере удале­ния от места контакта. Установленная Герцем зависимость ме­жду контактной силой Р и смещением α имеет вид

(3.76)

Здесь - коэффициенты Пуассона, а и -модули Юнга соответственно первого и второго шаров.

Формула (3.76), строго говоря, является приближенной, так как получена в предположении, что в зоне контакта шары де­формируются как плоские упругие полупространства. При скоростях соударения шаров, при которых еще не возникают пластические деформации, это усло­вие выполняется. Таким образом, при упругом ударе ша­ров можно считать, что в уравнении (3.75) величины Р(t) и α свя­заны соотношением (3.76), т.е.

(3.77)

Нелинейное уравнение (3.77), является уравнением вида , умножая левую и правую части на , получим - уравнение с разделяющимися переменными

или (3.78)

В момент обращения скорости относительного смещения в нуль величина α достигает максимального значения , поэтому

На первой стадии удара, когда величина α возрастает во времени, уравнение (3.78) можно записать в виде

.

Интегрируя его, получаем

Зависимость t от η может быть найдена только путем численного интегрирования. Определенный же интеграл при η = 1 вычисляется аналитически І= 1,4716.

Время нарастания контактной силы P(t) равно времени ее спада, поэтому время соударения T, выражается через вычис­ленный интеграл І по формуле

Отметим, что полученные формулы могут быть при­менены и к случаю соударения тел, которые имеют сферические закругления с радиусами и соответственно только в ок­рестности точки их первоначального контакта.

Полагая, что соударяются два одинаковых стальных шара и ,

При R = 1 см (m = 32,7 г) и v0 получаем ,

Для сравнения проследим, как изменятся эти величины при увели­чении скорости в 10, а затем и в 100 раз. В первом случае имеем

Во втором

При больших скоростях теорию Герца используют только для при­ближенной оценки основных параметров удара, так как даже у закаленных шаров, изготовленных из высококачественной стали, при скоростях соударения примерно 5—8 м/с наблюдаются местные пластические деформации.