Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.

Для малых колебаний системы около устойчивого положения равновесия выражения для кинетической энергии, потенциальной энергии и диссипативной функции имеют вид;

где -положительные постоянные. Будем предполагать, что обобщённая сила является заданной функцией времени. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний будет линейным, неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами

.

При введённых ранее обозначениях оно примет вид

(3.68)

Общий интеграл дифференциального уравнения (3.672), как известно, является суммой общего интеграла соответствующего однород­ного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний, и какого-либо частного решения уравнения (3.68): , причем, в зависимости от значений коэффициентов n и k получим решение в виде (3.60),(3.61) или (3.62). В случае произвольной функции решение ищется методом вариации произвольных постоянных. Здесь же ограничимся случаем, когда гармоническая функция . Уравнение (3.68) примет вид

,

где . Будем искать частное решение в форме

.

Тогда

Подстановка в дифференциальное уравнение даёт

Откуда получаем два уравнении для неизвестных А и В:

Решив эти уравнения, имеем:

Полагая

Получим , где

. (3.69)

Общее решение можно теперь записать в таком виде

.

- решение однородного уравнения в форме (3.60),(3.61) или (3.62), и, как было выше показано, оно при затухает, остаются только вынужденные колебания. Поэтому в установившемся режиме можно не учитывать.

Динамические характеристики вынужденных колебаний.

Определим зависимость и . Для этого введём безразмерные коэффициенты (коэффициент расстройки), (безразмерный коэффициент сопротивления) и коэффициент динамичности , где ( отклонение системы от положения равновесия под действием постоянной силы H . Тогда, вынося из под корня в первой формуле (3.69), можно записать

Рассматривая μ как параметр, построим график . , Максимуму соответствует минимум подкоренного выражения в знаменателе. Обозначим

его как , вычислим производную по z и приравняем её нулю.

.

И так, если и , то функция имеет экстремум, причём второе значение имеет место лишь при . Зависимость , при различных значениях параметра μ , представлен на графике; для параметр μ=0.707. Для построения преобразуем вторую формулу (3.69) к виду . Зависимость , при различных значениях параметра μ , представлен на графике.

Некоторые задачи статики динамики точки и твёрдого тела.

1. Удар точки о преграду.

Явление удара тела о неподвижную преграду или соударения двух движущихся тел связано с процессом деформации тел вблизи точки их соприкасания и распространением волны сжатия внутри этих тел. Этот процесс не может быть изучен в рамках механики абсолютно твердого тела. Пред­метом изучения теоретической механики служит лишь сравнение движения точки или системы точек до и после удара; при этом явление удара рассматривается как некоторый скачкообразный про­цесс, продолжительность которого бесконечно мала. На самом деле, продолжительность удара представляет хотя и очень малую, но конечную величину, зависящую от многочисленных физических факто­ров: упругих характеристик материала соударяющихся тел, их формы и размеров, относительной скорости сближения и др. В качестве примера укажем, что продолжительность соударения двух латунных шариков диаметра 26 мм при относительной скорости их сближения 74 мм/сек равна t = 2сек. Рассмотрим часто встре­чающийся случай, когда модуль F, возникающих при контакте сил изменяется по закону, изображенному на рис. До соударения модуль сил F равен нулю, затем растет, достигая некоторой максимальной величины, после чего быстро падает, об­ращаясь снова в нуль при t>τ. Импульс силы за время τ ее действия определяется обычной форму­лой

(3.70)

Будем считать, что импульс силы при ударе конечен, хотя время действия импульса очень мало, а сила при этом очень большая.

На основании теоремы об изменении количества движения имеем , или . Здесь и скорости точки в начале и конце удара. Так как импульс силы конечен, то при ударе скорость точки мгновенно изменяется на конечную величину. Найдём перемещение точки за время удара. Рассмотрим силу , изменяющуюся за время удара. Тогда и

. (3.71)

Интегрируя последнее равенство в пределах от нуля до τ , получим

, (3.72)

Где и - радиусы – векторы точки в конечный и начальный моменты времени, а - среднее значение импульса на отрезке (0, τ) . Из (3.72) видно, что перемещение точки при мгновенном действии ударной силы равно нулю.

Коэффициент восстановления. При соударении двух тел в точке контакта возникают удар­ные силы, приложенные к каждому из тел. Они имеют одинако­вые модули и противоположно направлены. Пренебрегая тре­нием, будем считать, что ударные силы и их импульсы и направлены по общей нормали к поверхностям соударяющихся тел (см.рис). Как показывают наблюдения, гипотеза об абсо­лютной твердости тел является недостаточной для объяснения процесса удара и необходимо учиты­вать физические свойства тел. Сам про­цесс удара можно разбить на две фазы. В течение первой фазы проис­ходит сближение тел по линии общей нормали, в результате чего проекция на нормаль относительной скорости точки контакта тел уменьшается до нуля. Вслед за этим начинается вто­рая фаза удара: тела, восстанавливая свою форму, начинают удаляться друг

от друга, нормальная составляющая относительной скорости точки соприкосновения, переменив знак, возрастает по абсолют­ной величине, но не достигает, как правило, своего значения, в начале удара. Как показывают опыты, в пер­вом приближении можно принять следующую гипотезу (гипо­теза Ньютона): отношение модуля нормальной составляющей относительной скорости точки контакта тел после удара к ее величине до удара есть некоторая физическая постоянная, ха­рактеризующая физические свойства соударяемых тел, но не зависящая от их массы и относительной скорости. Эта физиче­ская постоянная называется коэффициентом восстановления. Обозначая коэффициент восстановления через k и учитывая, что полного восстановления скорости, как правило, не происхо­дит, будем иметь

В предельном случае, когда k = 1, удар называется абсолют­но упругим, во втором предельном случае, когда k = 0, удар называется абсолютно неупругим. В остальных случаях (0<k<1) удар называется не вполне упругим, или просто упругим. Заметим, что при абсолютно неупругом ударе двух тел нормальная составляющая относительной скорости точки сопри­косновения после удара равна нулю. Для таких тел весь про­цесс удара заключается только в первой фазе; после максимального сближения тел восстановления их формы в точке контакта не происходит, и оба тела движутся в дальнейшем совместно (в частности, оба тела могут остановиться) или одно тело сколь­зит по поверхности другого.

Обозначим через единичный вектор общей нормали к по­верхностям тел в точке контакта, направленный внутрь второго тела. Пусть и —скорости точек контакта первого и второго тел в начале удара, а и — соответствующие величины в конце удара. Тогда, по определению коэффициента восстано­вления, будем иметь

(3.73)

Коэффициент восстановления может быть определён следующим образом Представим себе, что одно из соударяемых тел выполнено в виде плиты и неподвижно за­креплено в горизонтальном положении, другое тело — шарик. Шарик поднят на высоту над плитой и отпущен без начальной скорости. Скорость его в момент соприкосновения с плитой вычисляется по известной формуле , измерив высоту h, на которую поднимается шарик после от­скакивания, можно найти его скорость в конце удара: . Таким образом, коэффициент восстановления k оказывается равным . Значения коэффициентов восстановления для различных пар соударяемых материалов приводятся в справочниках. Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел находятся на общей нормали, проведённой в точке контакта. Рассмотрим косой удар точки о неподвижную преграду с учётом мгновенного трения, возникающего в точке контакта (рис. ). Запишем два отношения

.

Первое – отношение нормальных составляющих скоростей после и до удара, второе – отношение касательных составляющих скоростей, где λ – коэффициент мгновенного трения. Разделив второе на первое, получим

.

Скорость после удара равна