Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.

Предположим, что наряду с восстанавливающей силой на систему действует еще возмущающая сила, являющаяся заданной функцией времени. Рассмотрим сначала наиболее простой случай периодиче­ской возмущающей силы Q(t), изменяющейся по гармоническому закону: Q(t) = Н sin (pt+α), где Н—амплитуда, р — частота, α — начальная фаза возмущающей силы. При наличии возмущающей силы дифференциальное уравнение дви­жения будет иметь вид

или, если разделить обе части на а,

(3.63)

где, как и раньше, — частота свободных колебаний, а

Общий интеграл дифференциального уравнения (3.62), как известно, является суммой общего интеграла соответствующего однород­ного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний, и какого-либо частного решения уравнения (3.62): , причем

Частное решение ищем в виде: Подстановка в (3.63) приводит к соотношению , откуда при находим

.

Общий интеграл уравнения (3.62) будет:

(3.64)

Правая часть этого равенства представляет результат наложения свободных колебаний на колебания, происходящие с частотой воз­мущающей силы и называемые вынужденными колебаниями. Если k>p, т. е. частота собственных колебаний больше частоты возму­щающей силы, то вынужденные колебания имеют ту же фазу, что и возмущающая сила; при k<p вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на π. Отметим, что амплитуда вынужденных колебаний не зави­сит от начальных условий движения.

Зададимся вновь начальными усло­виями: при t=0 и пусть (для упрощения выкладок) α=0. Тогда постоянные интегрирования выразятся через начальные данные так:

и решение (3.63) приведется к окончательному виду

(3.65)

Составное движение, представленное формулой (3.65), можно рассматривать как результат сложения: 1) свободных колебаний точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы, (первые два слагаемые), 2) колебаний, вызванных возмущающей силой, с собственной частотой k (третье слагаемое) и, наконец, 3) вынужденных колебаний с частотой возмущающей силы (последнее слагаемое).

Если частота возмущающей силы р совпадает по величине с часто­той собственных колебаний k, то возникает явление резонанса. При резонансе возмущающая сила действует «в такт» с собственными колебаниями точки, что приводит к особенно интенсивному ее рас­качиванию. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе воз­растает, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть начальные условия нулевые.

(3.66)

Устремим р к k; тогда, при p=k , имеем неопределенность вида . Раскрывая эту неопределенность по известному правилу Лопиталя, найдем:

В случае резонанса (p = k) движение системы определяется полученным выражением, содержащим в числе составляющих колебаний характерное для резо­нанса слагаемое

в котором время t стоит множителем перед косинусом. Благодаря наличию этого множителя , переходя от положи­тельных значений к отрицательным, будет вместе с тем неограни­ченно возрастать, колебания при резонансе происходят с возрастающей пропорционально времени ампли­тудой. График резонансного колеба­ния показан на рисунке. Явление резонанса, сопровождаю­щееся колебаниями весьма большой амплитуды, может служить причиной разрушения конструкции или создавать в ней опасные напряжения.

Точное совпадение частот собственных и вынужденных колебаний в технических приложениях практически невозможно (они могут совпадать с точностью измеряющих приборов). Поэтому рассмотрим случай, когда эти частоты очень близки. Будем считать

. (3.67)

Тогда (3.66) можно записать так

По известным формулам тригонометрии , с учётом (3.66), перепишем полученную формулу в виде

.

Здесь D(t) –амплитуда колебаний системы - функция периода . График полученных колебаний представлен на рисунке. Здесь .

Такие колебания называются биениями системы, при стремлении получаем график резонанса .