
- •Динамика несвободной системы.
- •Возможные перемещения.
- •Принцип освобождаемости. Идеальные связи
- •Статический принцип возможных перемещений.
- •Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Уравнения Лагранжа второго рода
- •Диссипативная функция.
- •Интеграл энергии.
- •Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
Предположим, что наряду с восстанавливающей силой на систему действует еще возмущающая сила, являющаяся заданной функцией времени. Рассмотрим сначала наиболее простой случай периодической возмущающей силы Q(t), изменяющейся по гармоническому закону: Q(t) = Н sin (pt+α), где Н—амплитуда, р — частота, α — начальная фаза возмущающей силы. При наличии возмущающей силы дифференциальное уравнение движения будет иметь вид
или, если разделить обе части на а,
(3.63)
где, как и раньше,
—
частота свободных колебаний, а
Общий интеграл
дифференциального уравнения (3.62), как
известно, является суммой общего
интеграла
соответствующего однородного
уравнения, т. е. уравнения свободных
колебаний, и какого-либо частного решения
уравнения (3.62):
,
причем
Частное решение
ищем в виде:
Подстановка
в (3.63) приводит к соотношению
,
откуда при
находим
.
Общий интеграл уравнения (3.62) будет:
(3.64)
Правая часть этого равенства представляет результат наложения свободных колебаний на колебания, происходящие с частотой возмущающей силы и называемые вынужденными колебаниями. Если k>p, т. е. частота собственных колебаний больше частоты возмущающей силы, то вынужденные колебания имеют ту же фазу, что и возмущающая сила; при k<p вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на π. Отметим, что амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий движения.
Зададимся вновь
начальными условиями:
при t=0
и пусть (для упрощения выкладок) α=0.
Тогда
постоянные интегрирования выразятся
через начальные данные так:
и решение (3.63) приведется к окончательному виду
(3.65)
Составное движение, представленное формулой (3.65), можно рассматривать как результат сложения: 1) свободных колебаний точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы, (первые два слагаемые), 2) колебаний, вызванных возмущающей силой, с собственной частотой k (третье слагаемое) и, наконец, 3) вынужденных колебаний с частотой возмущающей силы (последнее слагаемое).
Если частота возмущающей силы р совпадает по величине с частотой собственных колебаний k, то возникает явление резонанса. При резонансе возмущающая сила действует «в такт» с собственными колебаниями точки, что приводит к особенно интенсивному ее раскачиванию. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть начальные условия нулевые.
(3.66)
Устремим
р
к k;
тогда, при p=k
, имеем неопределенность вида
. Раскрывая эту неопределенность по
известному правилу Лопиталя, найдем:
В случае резонанса (p = k) движение системы определяется полученным выражением, содержащим в числе составляющих колебаний характерное для резонанса слагаемое
в котором время t
стоит множителем перед косинусом.
Благодаря наличию этого множителя
,
переходя от положительных значений
к отрицательным, будет вместе с тем
неограниченно возрастать, колебания
при резонансе происходят с возрастающей
пропорционально времени амплитудой.
График резонансного колебания показан
на рисунке. Явление резонанса,
сопровождающееся колебаниями
весьма большой амплитуды, может служить
причиной разрушения конструкции или
создавать в ней опасные напряжения.
Точное совпадение частот собственных и вынужденных колебаний в технических приложениях практически невозможно (они могут совпадать с точностью измеряющих приборов). Поэтому рассмотрим случай, когда эти частоты очень близки. Будем считать
.
(3.67)
Тогда (3.66) можно записать так
По известным
формулам тригонометрии
,
с учётом (3.66), перепишем полученную
формулу в виде
.
Здесь D(t)
–амплитуда колебаний системы - функция
периода
.
График полученных колебаний представлен
на рисунке. Здесь
.
Такие колебания
называются биениями системы, при
стремлении
получаем график резонанса
.