Вариант 4.

Тема: «Дифференциальное исчисление

функции одной переменной»

1. Найти производные первого порядка:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

2. Дана функция .

а) Найти дифференциал первого порядка в общем виде.

б) Записать уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой .

3. Для функции и аргумента вычислить .

4. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) .

5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

6. Провести полное исследование функции и построить ее график:

1) ; 2) .

Тема: «Приложения производной функции»

1. Закон движения тела имеет вид: (м). Найти:

1) скорость и ускорение движения тела в момент время с;

2) кинетическую энергию тела через с после начала движения, если его масса кг (ответ записать в кДж).

2. Измерения величины заряда (в микрокулонах) на обкладках конденсатора показали, что заряд меняется со временем по закону . Найти, в какой момент времени (время в секундах, ) сила тока будет равна нулю.

3. Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2 м и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна, а объем был бы наибольшим. Какова должна быть длина балки?

Вариант 5.

Тема: «Дифференциальное исчисление

функции одной переменной»

1. Найти производные первого порядка:

1) ; 3) ; 5) ;

2) ; 4) ; 6) .

2. Дана функция .

а) Найти дифференциал первого порядка в общем виде.

б) Записать уравнение касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой .

3. Для функции и аргумента вычислить .

4. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) .

5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

6. Провести полное исследование функции и построить ее график:

1) ; 2) .

Тема: «Приложения производной функции»

1. Закон движения тела имеет вид: (м). Найти:

1) скорость и ускорение движения тела в момент время с;

2) кинетическую энергию тела через с после начала движения, если его масса кг (ответ записать в кДж).

2. Измерения величины заряда (в микрокулонах) на обкладках конденсатора показали, что заряд меняется со временем по закону . Найти, в какой момент времени (время в секундах, ) сила тока будет равна нулю.

3. Лампа весит над центром круглого стола радиусом 1 м. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на его крае, будет наилучшей? Освещенность находится по формуле , где  угол между лучом света, падающего на край стола, и вертикальной прямой, проходящей через центр стола;  расстояние от источника света до предмета, лежащего на краю стола.