1.2. Кинематика

1.2.1. Кинематика точки

Основные положения. Кинематика - раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение, без учета масс и приложения сил. Всякое движение тел происходит в пространстве и во времени, по отношению к другим телам, с которыми жестко связывают систему координат, называемую

с и с т е м о й о т с ч е т а. Абсолютно неподвижных тел в окружающем нас мире нет, поэтому движение и покой любого тела являются относительными. При изучении движения самолета по аэродрому или при полетах на небольшие расстояния Землю считают неподвижной и связывают с ней систему отсчета. При скоростных полетах на большие расстояния систему отсчета по-прежнему связывают с Землей, но не считают ее неподвижной, а учитывают суточное, а в некоторых случаях и годовое движение. При расчетах движения космических кораблей систему отсчета связывают с Солнцем и так называемыми "неподвижными" звездами.

Для измерения расстояний в пространстве используют единицу длины - метр.

Время в механике считают скалярной, непрерывно изменяющейся величиной, одинаковой для всех систем отсчета. За единицу времени принята секунда.

Для характеристики рассматриваемого движения в механике пользуются понятиями "траектория точки", "скорость точки" и "ускорение точки".

Т р а е к т о р и е й называют множество последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета.

С к о р о с т ь ю точки называют пространственно-временную меру, характеризующую быстроту и направление движения точки.

У с к о р е н и е м точки называют пространственно-временную меру, характеризующую изменение абсолютной величины и направления скорости.

Способы задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки. Для задания движения точки в пространстве пользуются каким-либо одним из трех основных способов: векторным, координатным, естественным.

В е к т о р н ы й с п о с о б. Положение точки в пространстве одно-значно определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М. Для определения движения точки должна быть задана вектор-функция аргумента t (рис. 1.43):

= f(t) (1.40)

Траекторией точки является г о д о г р а ф радиуса-вектора.

Вектор скорости точки в данный момент времени t равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени и направлен по касательной к траектории точки в сторону движения (рис. 1.44).

(1.41)

Размерность [V] = [длина/время] = L/t = м/с.

С к о р о с т ь - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

У с к о р е н и е м точки называется вектор, характеризующий быстроту изменения вектора скорости (рис. 1.45)

(1.42)

Ускорение точки равно первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени. Вектор ускорения точки всегда направлен в сторону вогнутости траекториии и лежит в так называемой с о п р и к а с а ю щ е й с я п л о с к о с т и.

Рис. 1.43 Рис. 1.44 Рис. 1.45

К о о р д и н а т н ы й с п о с о б. Рассмотрим движение точки в прямоугольной системе декартовых координат. Положение точки М в системе отсчета OXYZ определяется тремя декартовыми координатами точки x, y, z.

x = f₁(t); y = f₂(t); z = f₃(t) - (1.43)

уравнения движения точки в декартовых координатах. Обозначим орты осей координат . Проведем из начала координат в движущуюся точку М радиус-вектор , где , тогда

Рис. 1.46 ,

где

V_x = , V_y =, V_z = - (1.44)

проекции вектора скорости точки на неподвижные оси декартовых координат. Модуль и направление вектора скорости

V = = (1.45)

(1.46)

Ускорение точки определяем, зная, что

= = ,

где

=, = , = - (1.47)

проекции ускорения на координатные оси.

Модуль и направляющие косинусы вектора ускорения:

(1.48)

cos =; cos =; cos = . (1.49)

Е с т е с т в е н н ы й с п о с о б. Движение точки определено, если заданы (рис. 1.47):

- траектория, положение которой относительно выбранной системы отсчета известно;

- начало и направление отсчета дуговой координаты;

- уравнение движения

s = f(t), (1.50)

связывающее расстояние S движущейся точки от начала отсчета со временем. В общем случае расстояние S не равно пройденному точкой М пути, так как точка может начать движение не из начала отсчета О, а из другого положения (М₁). Численное значение скорости

, (1.51)

т.е. равно первой производной по времени от расстояния.

Знак скорости показывает направление движения точки в данный момент. При знаке "плюс" точка движется в сторону положительного отсчета расстояний и наоборот.

При естественном способе задания движения ускорение точки определяют его составляющими, направленными по так называемым естественным осям. Траектория точки, как и любая кривая, имеет три естественные оси (рис. 1.48):

- к а с а т е л ь н у ю (орт оси-) направленную в сторону положительного отсчета;

- г л а в н у ю н о р м а л ь (орт оси- ) - линию пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей, направленную в сторону вогнутости кривой;

- б и н о р м а л ь (орт оси-), перпендикулярную касательной и главной нормали.

К р и в и з н о й K к р и в о й в данной точке называют предел отношения угла смежноcти (рис. 1.49) к длине дуги ΔS, ему соответствующей, при ΔS→0: K = lim Δφ/ ΔS .

Величина, обратная кривизне K, называется р а д и у с о м к р и в и з н ы: .

Рис. 1.47 Рис. 1.48 Рис. 1.49

Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и равно производной от вектора скорости по времени (рис. 1.50).

Представим вектор скорости как произведение ее численного значения V на орт касательный :

(1.52)

(1.53)

Первое слагаемое есть касательное ускорение точки, характеризующее изменение вектора скорости этой точки только по модулю:

(1.54)

Рассмотрим второе слагаемое. Величину || найдем, взяв предел отношения │Δτ│ к ∆ t при ∆ t → 0.

Получим , где - единичный вектор, направленный по главной нормали, ρ- радиус кривизны траектории.

Тогда - составляющая ускорения точки вдоль главной нормали к траектории называется нормальным ускорением точки и характеризует изменение направления вектора скорости:

. (1.55)

Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории

Полное ускорение (1.56)

Модуль ускорения и его направление определяют по формулам:

(1.57)

или , (1.58)

tg α =. (1.59)

a б

Рис. 1.50 Рис. 1.51

Движение точки будет ускоренным (рис. 1.51а), если направление векторов скорости и касательного ускорения совпадает, и замедленным (рис. 1.51б), если наоборот.

Прямолинейное равномерное движение точки - единственный вид движения, при котором ускорение точки равно нулю

V = const , , ρ = ∞,

Прямолинейное неравномерное движение точки характеризуется изменением скорости по модулю

V≠ const ; ; ρ = ∞ , = 0; .

Криволинейное и равномерное движение точки - происходит изменение направления скорости

ρ ≠ ∞ ; ≠ 0 , V = const, , .

Криволинейное неравномерное движение точки

ρ ≠ ∞, V ≠ const, , , ,

dV/dt == const, ,

V = V₀  t . (1.60)

Скорость и уравнение равнопеременного движения точки

V = = V₀ + t ; ;

S = S₀ + V₀ t  . (1.61)

Уравнение равнопеременного движения точки при S₀ = 0, V₀ = 0

.

Пример 2.1. Посадочная скорость самолета V_пос = 140 км/ч, длина пробега после посадки L = 450 м. Найти время t пробега и ускорение .

Решение. Для определения ускорения самолета используем уравнение равнопеременного прямолинейного движения точки V = V₀ - t, т.к. в конце пробега самолет останавливается, то его конечная скорость обращается в нуль

0 = V₀ - t 

, , отсюда t = = 23,1 с

V₀ = V_пос = 140/3,6 м/с; = V₀/ t = 1,68 м/с²

Пример 2.2. Самолет при взлете, разбегаясь по ВПП, движется в соответствии с уравнением S = 1,1t² - 0,001t³, (где S - в м; t - в с) и взлетает через 30 с. Определить ускорения самолета в начальный момент и в момент отрыва , скорость отрыва V_отр и длину разбега L.

Решение. Скорость движения точки равна первой производной от расстояния по времени V = dS/dt = 2,2t - 0,003t².

Ускорение прямолинейного движения (когда отсутствует нормальное ускорение) равно производной от скорости точки по времени

= dV/dt = 2,2 - 0,006t

Отсюда найдем ускорение в начальный момент (t = 0) и в момент отрыва (t_отр = 30c)

= 2,2 м/с² , = 2,2 - 0,006· 30 = 2,02 м/с² .

Скорость отрыва определим, подставляя t_отр = 30с

V = 2,2· 30 - 0,003· 30² = 63,3 м/с = 228 км/ч

Длину разбега найдем L = 1,1· 30² - 0,001· 30³ = 963 м.