1.1.4. Система произвольно расположенных сил

Теорема о параллельном переносе силы. Действие силы на АТТ не изменится, если перенести ее параллельно самой себе в некоторую точку (центр приведения) присоединив при этом пару сил. Момент присоединенной пары равен моменту приведенной силы, относительно центра приведения. В точке А (рис. 1.31) приложена сила, предстоит перенести ее в точку В. Как это сделать? В точке В прикладываем силы равные по модулю силе ; () ≡ (); () ≡ 0. Получили эквивалентную систему трех сил, которую можно рассматривать как совокупность силы и пары сил с моментом (рис. 1.32).

Пару называют п р и с о е д и н е н н о й; ее момент равен моменту переносимой силы относительно центра приведения и, следовательно, зависит от положения этого центра.

Приведение произвольной пространственной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент. Систему сил, приложенных к телу, можно упростить, используя теорему о параллельном переносе силы. В результате приведения произвольной пространственной системы сил к данному центру в общем случае получаем главный вектор, равный геометрической сумме всех сил системы, и главный момент, равный геометрической сумме моментов всех приводимых сил относительно центра приведения (рис. 1.33).

Сложим и т.д., получим силовой многоугольник, где

(1.15)

Затем векторно сложим векторы моментов

(1.16)

(1.17)

Главный вектор инвариантен по отношению к центру приведения. Главный момент зависит от выбора центра приведения.

По модулю главный вектор вычисляется

R^*= (1.18)

Рис. 1.33

где R_x = X₁ + X₂ +...+ X_n = ∑ X_i,

R_y = Y₁ + Y₂ +...+ Y_n = ∑ Y_i, (1.19)

R_z = Z₁ + Z ₂ +...+ Z _n = ∑ Z_i,

проекции главного вектора на координатные оси ^* (R_x, R_y, R_z), а проекции каждой из сил (X₁, Y₁ , Z₁), (X₂, Y_2, Z₂) и т.д.

Направление находим по направляющим косинусам

cos(^*, ) =; cos(^*, ) =; cos(^*,) = (1.20)

Главный момент

M_ox =∑M_x ( ); M_oy =∑M_y(); M_oz =∑ M_z() (1.21)

M_o= (1.22)

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из координатных осей равнялась нулю, и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно каждой из трех координатных осей равнялась нулю.

∑ X_i = 0; ∑Y_i = 0; ∑Z_i = 0

∑ M_x () = 0; ∑M_y () = 0; ∑M_z () = 0 (1.23)

Система параллельных сил. Если ось OZ параллельна силам, то три уравнения (1.23) обращаются в тождества, так как проекции сил на оси OX и OY и их моменты относительно оси OZ равны нулю. Оставшиеся три уравнения являются уравнениями равновесия параллельных сил в пространстве (рис. 1.34).

∑ Z_i = 0; ∑ M_x () = 0; ∑M_y () = 0. (1.24)

Для параллельных сил расположенных в плоскости XOY (рис. 1.35), имеем два уравнения равновесия:

∑Y_i = 0; ∑M_o () = 0. (1.25)

Плоская система произвольно расположенных сил. Если силы действуют в плоскости XOY (рис. 1.36), то суммы проекций их на ось OZ и моментов относительно осей OX и OY равны нулю.

При равновесии тела под действием плоской системы сил суммы их проекций на оси координат и сумма моментов относительно произвольного центра, лежащего в плоскости сил, равны нулю.

∑ X_i = 0; ∑Y_i = 0; ∑M_o () = 0 (1.26)

Рис. 1.34 Рис. 1.35 Рис. 1.36

Примеры упрощения системы сил, действующих на самолет. Силы взаимодействия самолета с поверхностью взлетно-посадочной полосы (ВПП) и воздухом при движении по земле и в полете подчиняются сложным закономерностям. Во всех случаях систему сил, действующих на самолет, упрощают. Например, воздушное давление, неравномерно распределенное по нижней и верхней поверхностям крыла (или стабилизатора, киля), часто суммируют и относят к одной поверхности.

Силы, действующие на самолет в горизонтальном полете с постоянной скоростью без бокового ветра, могут быть приведены к плоской системе сил (рис. 1.37).

Вес самолета, подъемная сила крыла и горизонтального оперения , тяга вигателей и сила лобового сопротивления удовлетворяют трем уравнениям равновесия:

1) условие сохранения постоянной скорости

Рис. 1.37 ∑ X_i = 0, P – Q = 0; (1.27)

2) у с л о в и е с о х р а н е н и я п о с т о я н н о й в ы с о т ы

∑ Y_i = 0, Yкр - G - Yг.о. = 0; (1.28)

3) у с л о в и е с о х р а н е н и я г о р и з о н т а л ь н о г о п о л о ж е н и я с а -м о л е т а

∑M_o ()= 0, P a - Yг.о.·lг.о. = 0 (1.29)

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона). Момент равнодействующей произвольной системы сил относительно любой точки (оси) равен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки (оси) (рис. 1.38).

Пусть действующая на тело произвольная система сил приводится к равнодействующей . Уравновесим тело, приложив к нему силу ^* = - . Новая система сил находится в равновесии и для нее справедливо уравнение равновесия.

∑M_c() + M_c(^* ) = 0,

но

M_c (^*) = - M_c(), то ∑M_c () - M_c () =0,

или

M_c() = ∑M _c () (1.30)

Рис. 1.38 Рис. 1.39

Понятие о моменте устойчивости и моменте опрокидывания. При опробовании двигателя главные колеса шасси уперты в подкладки D, а хвостовое колесо не отрывается от земли. Будем считать, что на самолет действует только две силы: - тяга винта и - вес самолета, лежащие в вертикальной плоскости (рис. 1.39).

Выясним условия, при которых хвост прижат к земле. Для этого найдем равнодействующую сил и . Возможны два случая:

1) равнодействующая проходит слева от точки D;

2) равнодействующая проходит справа от точки D.

В первом случае самолет находится в равновесии, опрокидывание невоз-можно. Равнодействующая стремится повернуть самолет вокруг точки D против часовой стрелки M_D() > 0: M_D() = M_D () + M_D (), то

M_D() + M_D() > 0, тогда

M_D() > M_D() (1.31)

или Ga > Pв - момент устойчивости больше момента опрокидывания.

Второй случай, если лежит справа от точки D, то M_D() < 0, а т.к.

M_D() = Ga - Pв, (1.32)

то Ga – Pв < 0 или Ga < Pв, равновесие самолета нарушится, его хвост поднимется, возможно к а п о т и р о в а н и е самолета. Отношение момента устойчивости к опрокидывающему моменту называется коэффициентом устойчивости.