2.10. Сложные деформации

Косой изгиб. Большинство ответственных деталей и узлов авиационной техники работают в условиях сложного сопротивления. Так, например, крыло самолета в целом, его лонжероны и другие элементы подвергаются одновременно изгибу и кручению. Эти же деформации испытывают фюзеляж самолета и валы передач двигателя. Узел крепления двигателя к фюзеляжу – рама, а также стойка шасси самолета работают на изгиб и растяжение-сжатие.

До сих пор мы рассматривали плоский изгиб, когда плоскость дейс­твия нагрузок совпадала с продольной плоскостью симметрии балки или вообще с одной из её главных плоскостей. Деформация изгиба при этом происходила в плоскости действия моментов, а нейтральная ось совпадала с главной осью

инерции поперечного сечения и была перпендикулярна к плоскости действия моментов. Однако бывают случаи, когда плоскость действия изгибающих моментов не совпадает ни с одной из главных плоскостей балки. Такой изгиб назы­вается косым изгибом.

Рассмотрим пример косого изгиба. Пусть балка прямоугольного сече­ния, защемлённая одним концом (рис. 2.31а, б) изгибается силой F, действую­щей перпендикулярно к оси балки на свободном конце и составляющей угол с главной плоскостью ху.

Так как плоскость действия изгибающего мо­мента в данном случае не совпадает ни с одной из главных плоскостей балки, то это будет случай косого изгиба. Абсолютное значение изгибающего момента в каком-либо сечении, отстоящем на расстоянии х от защемления, будет

М= F(l - х).

Разложим силу F на две составляющие F_z и F_y, действующие по главным осям сечения у и z. Тогда абсолютные значения составляющих моментов бу­дут равны:

М_z= F_y (l – x)= F (l – x)cos,M_y= F_z (l – x)= F (l – x)sin.

Моменты M_y и М_z действуют в главных плоскостях балки. Напряжения от каждого из этих моментов, взятых в отдельности, мы определять уме­ем. Пользуясь законом независимости действия сил, можно найти напряже­ния, получающиеся при одновременном действии моментов M_y и М_z.Таким обра­зом случай косого изгиба можно всегда свести к двум плоским, или, как иногда говорят, к простым изгибам.

При действии только одного момента М_z нейтральной осью будет ось z (рис. 2.31в) и нормальное напряжение для какой-либо точки N с координата­ми z, у, взятой в первом квадранте сечения mn, определяется по формуле:

₁= .

Р ис. 2.31

Напряжения в той же точке от действия только момента М_y (рис. 2.31г) равно:

₂=.

При одновременном действии двух моментов М_y и M_z напряжение в любой точке сечения будет равно алгебраической сумме напряжений ₁ и ₂ т.е.

= ₁ + ₂=. (2.26)

В эту формулу координаты у, z точек сечения и изгибающие моменты подставляются со своими знаками. Координаты z и у положительны в первой четверти, отрицательны в третьей четверти, во второй четверти у – положительна z – отрицательна, а в четвёртой четверти у – отрицательна, z – положи­тельна. Если момент действует так, что в рассматриваемой четверти он вы­зывает растяжение, то ему приписывается знак плюс, а если сжатие, то ми­нус. Наибольшее суммарное напряжение будет в точках В и С. Абсолютные значения этих напряжений будут одинаковы. Уравнение нейтральной линии получим, приравнивая нулю правую часть формулы (2.26):

=0 или

Этому уравнению прямой линии удовлетворяют значения у=0 и z=0; сле-довательно, нейтральная линия проходит через центр тяжести попереч­ного сечения. Определив из последнего выражения отношение у/z, найдём тангенс угла (), составляемого нейтральной линией с положительным направлением оси z (рис. 2.31д):

tg= = -tg .

Из формулы видно, что для таких сечений, у которых J_y=J_Z (квад­рат, круг и др.), нейтральная линия всегда будет перпендикулярна к плос­кости действия изгибающего момента, в которой и будет происходить де­формация изгиба, не может быть косого изгиба.

Гипотезы прочности. Выше рассматривалась работа материалов при различных видах дефор­маций, существующих раздельно и при которых возникают напряжения или только нормальные или касательные. Напряжения при таких видах деформаций в каждой точке сечения можно складывать алгебраически.

Часто встречаются и имеют большое практическое значение случаи сочетания основных видов деформаций, когда в поперечных сечениях возни­кают и нормальные и касательные напряжения, распределённые неравномерно и по разным законам. Для таких случаев опытное определение величин характеризующих прочность невозможно.

При оценке прочности приходится ос­новываться на механических характеристиках материала, полученных из диаграммы растяжения, а условия прочности составляются на основе науч­ных предположений (гипотез) о том, какой фактор вызывает появление опасного состояния. Можно полагать, что опасное состояние возникает при достижении нормальными напряжениями предела текучести или предела пропорциональности. С другой стороны, можно полагать, что опасное состояние возникает тогда, когда наибольшее относительное удлинение достигает оп­ределённого значения.

Возможно и третье предположение, что появление опасного состояния связано с тем, что касательные напряжения достигают определённого значения. Возникновение опасного состояния можно связать также с достижением определённого значения величины энергии, накаплива­емой в материале при деформации.

На основе указанных выше возможных критериев опасного состояния разработано пять теорий прочности. Подробное рассмотрение этих теорий выходит за пределы нашей учебной программы. Для расчёта валов, болтовых соединений, винтов домкратов и др. при­меняют третью или пятую теорию прочности.

Изгиб с кручением. Случаем совместного действия изгиба и кручения является передача мощности валом. Для расчёта валов на совместное действие изгиба и кру­чения применяют третью или пятую теорию прочности.

По третьей теории прочности (теория наибольших касательных напряжений) эквивалентное напряжение вы­числяют по формуле

_экв = (2.27)

По пятой теории прочности (энергетическая теория) формула для эк­ви-валентных напряжений имеет вид:

_экв = (2.28)

В этих формулах и нормальное и касательное напряжения в опасной точке поперечного сечения бруса.

Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по формулам:

=,

где полярный момент сопротивления W_, и осевой момент W_х связаны равенством:

W_p = 2W_х.

При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки по­перечного сечения вала, наиболее удалённые от нейтральной оси.

Подставим значения напряжений в принятые уравнения теорий проч­нос-ти, получим:

_экв = , и _экв = .

Выражение, стоящее в числителе, назовём эквивалентным моментом.

Расчётная формула для круглых валов принимает вид:

_экв= . (2.29)

Кручение и растяжение или сжатие. Сочетание деформаций кручения и растяжения испытывают, напри­мер, болты и крепёжные винты, а сочетание кручения и сжатия – винты домкратов и т.д. Нормальные и максимальные касательные напряжения в этих случаях вычисляют по формулам

=, = .

Применив третью теорию прочности, получим расчётную формулу:

_экв= (2.30)

Применив пятую теорию прочности, получим:

_экв= (2.31)

Внецентренное растяжение – сжатие. Рассмотрим нагружение бруса осевой силой F, параллельной оси, приложенной в некоторой точке Е, т.е. действующей с некоторым эксцентриситетом е. В этом случае брус испытывает внецентренное растяжение. Приложим в точке О две равные и противоположно направленные силы F и F равные F, от этого ни равновесие бруса, ни напряжения в его поперечных сечениях не изменятся.

Рассматривая отдельно эти силы, можно сделать вывод, что сила F вызывает растяжение, а оставшаяся пара сил образует момент Fе, изгибающий брус.

Сила F, действующая по оси бруса, вызывает напряжение растяжения, равное

,

это напряжение распределяется равномерно по всему поперечному сечению бруса и имеет одинаковую величину в любом сечении (рис. 2.32б).

Р ис. 2.32

Изгибающий момент Fe постоянен по длине бруса. Он вызывает чистый изгиб, при котором возникают напряжения

.

Из рис. 2.32 видно, что верхние волокна бруса растягиваются силой F и изгибающим моментом Fе, а нижние волокна растягиваются силой F и сжимаются изгибающим моментом Fе. При этом в одной и той же плоскости возникают нормальные напряжения и, следовательно, суммарные напряжения будут равны алгебраической сумме напряжений _р + _и, тогда

.

Таким образом, в верхних волокнах возникают максимальные напряжния, в нижних – минимальные:

, .