2.9. Изгиб

Изгибом называется такой вид дефор­мации, когда под действием внеш-них сил в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Брусья, работающие на изгиб, называют балками. На изгиб работают ва­лы, оси и другие детали конструкций.

Различают два основных вида изгиба: чистый и поперечный. Если применить метод сечений в случае чистого изгиба (рис. 2.14а), то отрезанная часть балки уравновешивается только моментом, а в случае поперечного изгиба (рис. 2.14б) – моментом и поперечной силой.

Чистый изгиб. Под действием изгибающих моментов брус изгибается так, что все поперечные сечения остаются плоскими и перпендикулярными искривлённой оси бруса (рис. 2.14в). При этом волокна, находящиеся на выпуклой части бруса, оказываются растянутыми, а на вогнутой - сжатыми. Таким обра­зом, при чистом изгибе действуют только нормальные напряжения.

а б в

Рис. 2.14

П

о центру тяжести проходит нейтральный слой, не испытывающий ни растяжения, ни сжатия. Растяжение волокон сопровождается их утонением, а сжатие - утолщением. Выясним, как распределяются напряжения по сечению. По закону Гука  = .

а б

Рис. 2.15

Из рис. 2.15 видно, что абсолютное удлинение волокон рассматриваемого слоя

а относительное удлинение

Если точка О - общий центр кривизны деформированных слоев, то

и ,

где - радиус кривизны нейтрального слоя;

d- центральный угол;

у - расстояние от нейтрального до рассматриваемого растянутого слоя.

Следовательно,

и

Таким образом, напряжения в сечении пропорциональны расстоянию у от нейтрального слоя и изменяются по линейному закону. Наибольшее напряжение испытывают волокна периферийного слоя при y = y_max

_, (2.20)

где  - напряжение в произвольной точке поперечного сечения при изгибе.

Чтобы выяснить зависимость напряжений от действующих в сечении изгибающих моментов, выделим в сечении А элементарную площадку А (риc. 2.15б), расположенную на расстоянии у от нейтрального слоя. Элементар­ная сила dA создает момент dAy. Cуммируя элементарные моменты в сечении и учитывая (2.20), получим полный момент по всей площади сечения:

M =   y d =

Введем геометрическую характеристику сечения - -осевой момент инерции попереч­ного сечения.

Тогда ; отсюда , из формулы (2.20) , т.е. или

Напряжение будет максимальным, если у = у_max.

(2.21)

Введем еще одну геометрическую характеристику сечения - осевой момент сопротивления , характеризующий степень сопротив­ляемости поперечного сечения изгибу относительно нейтральной оси.

Окончательно получаем

_max = (2.22)

Условие прочности

. (2.22)

Из этого условия прочности вытекают три задачи, решаемые при плоском изгибе:

1. Проектный расчет, т.е. определение необходимых размеров поперечного сечения

,

Для круглого сечения диаметром d:

W_x = 0,1d³ , (2.23)

для кольцевого сечения:

W_х =0,1(d_н⁴-d_в⁴)/d_н, (2.23)

для прямоугольного сечения:

W_x =bh²/6, (2.24)

где b - ширина бруса;

h - высота бруса.

Из последней формулы видно, что прочность бруса на изгиб зависит не только от формы поперечного сечения, но и от его положения, вертикаль­ное положение прямоугольного сечения более выгодно, чем горизонтальное (попробуйте согнуть школьную линейку, расположенную плашмя, а затем ребром).

Поскольку на изгиб работают главным образом периферийные слои, целесообразно применять брусья с сечениями, в которых работающий материал расположен дальше от нейтральной оси. Так, применение кольцевого сече­ния (трубы) целесообразнее применения сплошного, прямоугольного выгод­нее квадратного, причём, чем больше отношение h:b, тем лучше. Но наиболее выгодными являются специальные профили: двутавр и швеллер, ко­торые и имеют наибольшее применение и в строительстве и в машинострое­нии. Моменты сопротивления этих профилей приводятся в справочниках.

Опоры и опорные реакции балок. Балки служат для передачи действующих на них нагрузок на опоры, на которых они покоятся. На опорах балки возникают реакции, с определения которых следует начинать решение всех задач, связанных с изгибом балок. В зависимости от числа и устройства опор балки число реакций, подлежащих определению, бывает различно. Опоры балок по их устройству могут быть разделены на следующие три основных типа:

1) шарнирно-неподвижная опора,

2) шарнирно-подвижная опора,

3) жёстко-защемлённая опора.

Шарнирно-неподвижная опора показана на рисунке 2.16а. Конец балки опи­рается на шарнир. Шарнир лежит на опорной подушке, которая в свою оче-редь жёстко прикреплена к опорной плоскости. Такая опора не даёт концу балки возможности передвигаться в каком либо направлении, позво­ляя ему только поворачиваться относительно центра шарнира. В дальнейшем шарнирно-непод-вижную опору будем изображать схематически, как пока­зано на рисунке 2.16б.

Рис. 2.16 Рис. 2.17 Рис. 2.18

Относительно реакции, возникающей в шарнирно- неподвижной опо­ре, нам известно только, что она лежит в плоскости действия нагружающих балку сил и проходит через центр шарнира. Величина и направление реак­ции нам не-известны. Неизвестную по величине и направлению реакцию всегда можно заменить двумя ее составляющими - одной верти­кальной и другой горизон-тальной .

Шарнирно-подвижная опора показана на рис. 2.17а. Такая опора отлича­ется от шарнирно-неподвижной тем, что у неё опорная подушка поставлена на катки, дающие ей возможность передвигаться вместе с концом балки вдоль её оси по опорной плоскости. В дальнейшем шарнирно-подвижную опору будем изображать схематически, как показано на рис. 2.17б.

Шарнирно-подвижная опора налагает на конец балки только одну связь –она не даёт концу балки перемещаться в направлении, перпендику­лярном к оси балки. Следовательно, шарнирно-подвижная опора даёт лишь одну реакцию, неизвестную по величине, но известную по направлению.

Жёсткое закрепление конца балки показано схематически на рис. 2.18. Такая опора препятствует всякому перемещению конца балки в плоскости действия внешних нагрузок и, кроме того, препятствует вращению конца балки. В жёстком защемлении возникает реакция, неизвестная по ве­личине и направлению, препятствующая перемещению конца балки, и реактив­ный момент, препятствующий повороту конца балки. Неизвестную реакцию всегда можно заменить двумя составляющими - одной вертикальной , и другой горизонтальной . На этом основании можно сказать, что на опоре, предс­тавляющей жёсткое защемление, возникают три неизвестные реакции: верти­кальная реакция , горизонтальная реакция и опорный момент М.

Определение опорных реакций балок. При всех видах деформаций, изучаемых в сопротивлении материа­лов, предполагается, что величины деформации невелики, поэтому при опре­делении опорных реакций балок можно пренебречь теми изменениями, которые происходят в расположении внешних сил, действующих на балку, вследствие деформации балки. В случае действия на балку сил, лежащих в одной плоскости, статика даёт три уравнения равновесия:

Σ X_i =0, Σ Y_i =0, Σ М_i = 0,

т.е. для равновесия балки необходимо, чтобы суммы проекций всех сил, при-ложенных к балке, вместе с реакциями опор на оси х и у были рав­ны нулю; кроме того, должна быть равна нулю и сумма моментов всех сил относительно любой точки плоскости.

Если силы, изгибающие балку, перпендикулярны к её оси, то уравнение Σ X_i = 0 обращается в тождество и для определения реакций остаются два уравнения статики:

1)∑У_i =0

2) .

Если балка при поперечном изгибе имеет такие опоры, что общее чис­ло реакций, возникающих на опорах, не превышает двух, то реакции могут быть всегда определены из двух уравнений статики. Такие балки, реак­ции которых могут быть определены из уравнений статики, называются статически определимыми балками.

Статически определимые балки могут быть только следующих двух ви­дов:

1) балка с одним жёстко-защемлённым и другим свободным концом, ина­че консоль (рис. 2.19а);

2) балка с одной шарнирно-неподвижной и дру­гой шарнирно-подвижной опорами (рис. 2.19б и 2.19в).

Рис. 2.19

Рассмотрим на конкретном примере определение реакций статически определимых балок.

Предварительно условимся ось Х направлять всегда по оси балки, ось У – вертикально вверх. При составлении уравнений моментов за положи­тельные моменты условимся считать моменты, направленные против часовой стрелки. Если на балку действует сплошная равномерно распределённая нагрузка, как показано на рис. 2.20, то при определении реакций сплошная нагрузка заменяется её равнодействующей. Точка приложения равнодейству­ющей сплошной распределённой нагрузки лежит посередине того участка, на который она действует. Сплошная равномерно распределённая нагрузка час­то задаётся её интенсивностью.

Под и н т е н с и в н о с т ь ю распределённой нагрузки понимают величину нагрузки, приходящуюся на единицу дли­ны. Если вся сплошная нагрузка равна F,а длина участка, на который она действует- l, то интенсивность нагрузки будет: q = . Размерность интенсивности нагрузки выражается обычно в Н/м или Н/мм.

Пример 4.3. Балка, защемлённая одним концом (рис. 2.20), нагружена равномерно-распределённой нагрузкой интенсивности q =0,5кН/м по всей дли­не балки и сосредоточенной силой F=2кН на свободном конце. Определить реакции защемления, если длина балки l=4 м.

Рис. 2.20

Решение. В защемлении возникают вертикальная реакция и реактивный момент. Направление этих реакций нам неизвестно. Направим пока произвольно вертикальную реакцию R вверх, а опорный момент М против вращения часовой стрелки. Напишем условия равновесия, выбрав за центр моментов точку А:

_ = M – – Fl = 0,

откуда величина реактивного момента

M =.

Из уравнения проекций сил на ось Y получаем: _i = R – ql – F = 0, откуда реакция

R = ql + F = 0,5 4 + 2 = 4 кH.

В данном случае момент М и реакция R получились положительны­ми. Это указывает на то, что их направления нами были выбраны правиль­но. Если после определения реакций какая-либо из величин получается со знаком минус, то это показывает, что предварительно выбранное направле­ние её не совпадает с действительным. Поэтому в этом случае направление реакции, полученной со знаком минус, следует изменить на чертеже на об­ратное и в дальнейших расчётах учитывать её действительное направление.

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для оценки прочностной надёжности балки следует установить сече­ния, в которых внут-ренние силовые факторы (поперечная сила Q и изгибаю­щий момент М) имеют максимальные значения. Анализ внутренних силовых факторов будет наглядным, если построить графики изменения поперечных сил и изгибающих момен-тов вдоль центральной оси балки. Эпюры строятся аналогично эпюрам продоль-ных сил и крутящих моментов. При построении эпюр положительные значения поперечных сил и моментов откладывают вверх от оси, отрицательные - вниз; ось эпюры проводят параллельно оси балки.

Рис. 2.21

Рассмотрим простую балку, нагруженную двумя силами F₁ и F₂ (рис. 2.21). Пусть реакции на левой и правой опорах будут R_A и R_B. Для определе­ния внутренних сил упругости в каком-либо сечении балки применим метод сечений. Разрежем мысленно балку в сечении, отстоящем на расстоянии х от левой опоры балки, и рассмотрим левую часть балки, отбросив её правую часть.

Для того чтобы левая часть балки находилась в равновесии, в сече­нии должны действовать поперечная сила Q и изгибающий момент М. Из условия равновесия левой части балки имеем:

1) , R_A – F₁ – Q = 0, откуда Q = R_A – F₁

2) , R_A ·x – F₁ (x – a) – M = 0, откуда М = R_A · x – F₁ (x – a)

Сила Q – результирующая внутренних сил, приложенная к оставшейся части балки, численно равная алгебраической сумме внешних сил, действую­щих по одну сторону от сечения, называется поперечной или перерезываю­щей силой.

Момент пары внутренних сил, приложенный к оставшейся части бал­ки, численно равный алгебраической сумме моментов внешних сил, действую­щих по одну сторону от сечения, называется изгибающим моментом в сече­нии.

Так как вся балка под действием внешних сил вместе с силами реак­ций находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на часть бал­ки, лежащую левее сечения, должна быть равна сумме всех сил, действующих на часть балки, лежащую правее сечения, но иметь обратное направление.

По тому же условию равновесия момент равнодействующей пары всех сил, действующих левее сечения относительно центра тяжести сечения, дол­жен быть равен моменту равнодействующей пары сил, действующих правее сечения относительно центра тяжести сечения, но иметь обратное направ­ление.

Правило знаков при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 2.22).

Рис. 2.22

Изгибающий момент положительный, если он изгибает балку выпуклостью вниз и изгибающий момент отрицательный, если он изгибает балку выпуклостью вверх.

Поперечная сила положительная, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа от сечения - вниз и наоборот.

Примеры построения эпюр. Рассмотрим ряд типовых примеров, содержащих наиболее часто встречающиеся случаи нагружения.

Рис. 2.23

Пример 1. При построении эпюр для балок с одним защемлённым концом можно не определять опорные реакции. Проведя сечение, будем рассматривать равновесие той части, к которой приложены только внешние актив­ные силы. Для балки (рис. 2.23а) такой частью будет левая. В произвольном сече­нии балки на расстоянии х = 0 от свобод­ного конца поперечная сила равна нулю Q = 0,так как внешняя нагрузка не даёт составляющей перпендикулярной оси балки.

Изгибающий момент в любом сечении равен внешнему моменту на свободном конце; он положителен, так как балка от действия внешнего момента получает положительную кривизну. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов построены на рис. 2.23б и 2.23в. Балка в рассмотренном примере испытывает чистый изгиб, так как попе­речная сила во всех её поперечных сечениях равна нулю. Эпюра моментов при чистом изгибе представляет собой прямую линию, параллельную оси балки

.

Рис. 2.24

Пример 2. Построим эпюры для балки с защемлённым концом, нагруженной сосре­доточенной силой на свободном конце (рис. 2.24а). Здесь можно не опреде­лять опорных реакций. Проведя сече­ние, будем рассматривать равновесие правой части, к которой приложены внешние активные силы. В любом сечении балки на расстоянии х от свободного конца поперечная сила равна силе F и положительна, так как внешняя сила стремится опустить правую часть балки (Q = F). Эпюра поперечных сил (рис. 2.24б) представляет собой прямую линию, параллельную оси балки.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки на расстоянии х от свободного конца равен моменту внешней силы F относитель­но центра этого сечения и отрицателен, так как эта сила изгибает балку выпуклостью вверх (стремится повернуть правую часть по часовой стрелке).

М = - Fх.

Эпюра изгибающих моментов – наклонная прямая (рис. 2.24в). Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении заделки.

Значение поперечной силы в сечении защемленного конца совпадает с величиной опорной реакции, а значение изгибающего момента в этом сечении равно величине реактивного момента. Этими условиями можно пользоваться для проверки правильности построения эпюр в балках с одним защемленным концом.

Пример 3. Построим эпюры для балки с защемленным концом, к которой приложена нагрузка, равномерно-распределённая по всей длине

(рис. 2.25а). Пусть на единицу длины приходится нагрузка q, тогда вся нагрузка, действующая на балку, равна ql. Для этой балки также нет надобности в определении опорных реакций, если рассматривать равновесие левой части, к которой приложены только внешние активные силы.

Рис. 2.25

В любом поперечном сечении балки на растоянии х от свободного конца поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих на левую часть, т.е. равнодействующей Q = -qx равномерно распределенной нагрузки q на участке длиной х. Она отрицательная, так как нагрузка qx направлена слева от сечения вниз, т.е. стремится опустить левую часть. Эпюра поперечных сил (рис. 2.25б) представляет собой прямую наклонную линию, которую можно построить, зная две точки. При х=0 имеем Q=0; при х=l  Q= -ql. Наибольшее по абсолютной величине значение поперечной силы Q= -ql в сечении защемления. Изгибающий момент в произвольном сечении

M = -qx = - q

Так как сила qх изгибает балку выпуклостью вверх, изгибающий мо­мент отрицателен.

Эпюра изгибающих моментов – парабола (рис. 2.25в). Давая х различные значения, можно построить её по точкам. При х=0М=0; при х=l/2  М=- ql²/8; при х=l M= - ql² /2.

Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении защемления.

Пример 4.Построим эпюры для двухопорной балки (рис. 2.26а) нагруженной силой F в произвольном сечении. Составим уравнения равновесия. Приравняв нулю сумму моментов всех внешних сил сначала относительно правой опоры, а затем относительно левой, найдём опорные реакции

_ = 0; Fb - R_l = 0,

_ = - Fa + R_l = 0,

откуда

R_A = F b /l, R_B = F a /l.

Законы изменения Q и M на участках АС и СВ различны, поэтому расс­мотрим каждый участок отдельно.

Р ис. 2.26

Поперечная сила на всем участке АС равна реакции R_A, она постоян­на по всей длине участка и положительна, так как сила R_A, действующая на левую часть направлена вверх, т.е. поднимает левую часть, Q = R_A =.

Поперечная сила в любом сечении на участке СВ равна разности сил R_A и F и также постоянна по всей длине участка, т.е. Q = R_A – F = -R_B = -.

Поперечная сила отрицательна, так как сила R_B поднимает правую часть балки. Эпюра поперечных сил показана на рис. 2.26б. В сечении С, где приложена сила F, поперечная сила претерпевает разрыв на величину F и меняет знак.

Найдём выражение изгибающего момента в любом сечении на первом участке при изменении х₁ в пределах: 0 < х₁ <а;

M = R_A x₁ = .

Согласно принятому правилу знаков, момент положителен, так как сила R_A стремится повернуть левую часть вокруг сечения по часовой стрелке. Полученное для изгибающего момента уравнение определяет прямую линию, которую можно построить по двум точкам; при х₁=0, т.е. в сечении на левой опоре М=0; при х₁=а, т.е. в сечении под силой F .

Составим выражение изгибающего момента для любого поперечного се­чения второго участка при изменении х₂ от а до l: a < x₂ < l

M = R_A x₂ – F(x₂ – a) = F b x₂/l – F(x₂ – a)

Знаки моментов сил поставлены в соответствии с приведённым выше правилом. Изгибающий момент на втором участке изменяется также по закону прямой линии; найдём две точки этой линии. При х₂ = а, т.е. в сечении под силой F ; при х₂=l, т.е. в сечении на правой опоре,

.

Таким образом, полная эпюра изгибающих моментов при заданном нагружении представляется на каждом участке наклонной линией и имеет для балки вид треугольника (рис. 2.26в). Изгибающий момент во всех сечениях положителен. Из сопоставления эпюр Q и М следует, что изгибающий момент имеет наибольшую величину в том сечении, в котором поперечная сила меняет знак. Значение этого наибольшего момента

.

Пример 5. Построим эпюры для двухопорной балки, к которой приложена равномерно-распределённая нагрузка интенсивностью q (рис. 2.27а). Составив и решив уравнения равновесия, найдём опорные реакции:

_ = 0; -,

_ = 0; ,

откуда

Для проверки составляем сумму проекций на вертикальную ось

Y = 0; R_A - ql + R_B = 0; ql /2 – ql + ql /2 = 0.

Уравнение обращается в тождество, значит реакции вычислены верно. Проводим произвольное поперечное сечение на расстоянии х от опоры А и рассматриваем левую отсеченную часть. Поперечная сила определится из выражения

,

при x = 0  ; при x = Q = 0; при x = l  .

Эпюра Q изображена на рис. 2.27б.

Изгибающий момент в проведенном сечении определится из выражения:

,

при x= 0  М = 0; при х=  ; при х = l  M= 0.

Рис. 2.27

Эпюра изгибающего момента изобразится параболой (рис. 2.27в). Посередине балки при х = l/2 поперечная сила изменяет знак. В этом сечении изгибающий момент имеет наибольшее значение .

Пример 6. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для простой балки, нагруженной сосредоточенной парой сил с моментом m (рис. 2.28a).

Определяем опорные реакции: реак­ция R_A - направлена вверх, R_B - вниз. Составим уравнения суммы моментов относительно опорных точек А и B, получим:

М_А= 0; -R_B l + m= 0; R_B= m/l.

М_B= 0; - R_A l + m= 0; R_A= m/l.

Опорные реакции балки образуют пару сил, момент которой уравновеши­вает момент приложенной пары.

Рис. 2.28

Делим балку на два участка. Первый участок - от опоры А до точки приложения сосредоточенного момента; х₁ изменяется от 0 до а. Второй участок- от точки приложения момента до опоры В; х₂ изменяется от а до l. Проводим произвольное сечение на первом участке на расстоянии х₁ от опоры А и рассматриваем левую отсечённую часть. Поперечная сила на этом участке постоянна, равна реакции R_A и положительна, так как эта ре­акция стремится приподнять левую отсечённую часть: Q₁= R_А = m/l.

Эпюра поперечных сил изображена на рис. 2.28б. Изгибающий момент на первом участке зависит только от силы R_А.

M₁= R_Аx₁ = mx₁/l.

При х₁ =0  M₁= 0; при х₁= а  M₁ = mа/l.

Момент положителен, так как сила R_А изгибает балку выпуклостью вниз. Эпюра моментов на первом участке - наклонная прямая (рис. 2.28б). На втором участке - поперечная сила будет такой же, как на первом, сосредоточенный момент не влияет на поперечную силу: Q₂ = R_B = m/l

Изгибающий момент на втором участке при рассмотрении левой отсечённой части зависит от реакции R_A и сосредоточенного момента m.

M₂= R_Ax₂ –m = mx₂/l – m = m (x₂ – l)/l;

при х₂ = а  M₂= m (a – l)/l = -m (l – a)/l = -mb/l;

при х₂ = l  M₂= 0.

Эпюра моментов на втором участке (рис. 2.28в), как и на первом, наклонная прямая. Под сечением, где приложена сосредоточенная пара, в эпюре моментов имеет место скачок, равный величине момента пары, так как:

ma/l + mb/l = m(a + b)/l = ml/l = m.

Взаимосвязь между нагрузками и видом эпюр попереч­ных сил и изгибающих моментов. Рассмотрев примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих мо­ментов, можно установить следующие зависимости:

Для эпюры поперечной силы:

1. На участках, нагруженных равномерно-распределённой нагруз­кой, эпюра - наклонная прямая; наклон этой прямой к оси зависит от интенсивности нагрузки.

2. На участках, свободных от распределённой нагрузки, эпюра - пря­мая, параллельная оси балки.

3. Под сечениями балки, где приложены сосредоточенные силы, в эпюре поперечных сил имеются скачки, равные величинам приложенных сил.

4. В сечениях, где приложены сосредоточенные пары сил, значение по­перечной силы не изменяется.

5. В концевых сечениях балки поперечная сила численно равна сосре­дото-ченным силам (активным или реактивным), приложенным в этих сечени­ях. Если в концевых сечениях не приложены сосредоточенные силы, то поперечная сила в них равна нулю.

Для эпюры изгибающих моментов:

1. На участках, несущих равномерно распределённую нагрузку, эпюра мо­ментов - квадратная парабола. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке.

2. На участках, свободных от равномерно-распределённой нагруз­ки, эпюра моментов - прямая линия. Под сосредоточенными силами на эпюре получаются изломы, т.е. для нескольких смежных участков эпюра изгибаю­щих моментов - ломаная линия.

3. Под сечением балки, где приложена сосредоточенная пара сил, в эпюре изгибающих моментов имеется скачок, равный величине момента приложенной пары сил.

4. Изгибающий момент в концевых сечениях балок всегда равен ну­лю, если в сечениях не приложены сосредоточенные пары сил. Если в конце­вых сечениях приложены внешние (активные или реактивные) пары сил, то изгибающий момент в этих сечениях равен по величине моменту приложен­ных пар.

5. На участках, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб и эпюра изгибающих моментов - прямая, параллельная оси балки.

6. Изгибающий момент получает максимальное значение в одном из се­чений балки, где изменяется знак поперечной силы.

Приведенные выводы о взаимосвязи эпюр М и Q между собой и с внешней нагрузкой позволяют обходиться без составления уравнений изгибающих моментов и поперечных сил для каждого участка балки. Достаточно вычис­лить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными яв­ляются сечения балки, где приложены со­средоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределённой нагрузкой. Для определения максимальных значений изгибающих мо­ментов дополнительно вычисляют моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю.

Построение эпюр без составления уравнений даёт особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой (имеющих много участков нагружения), так как вычисления при этом менее трудоём­ки, чем при построении эпюр по уравнениям.

Касательные напряжения при изгибе. В случае поперечного изгиба внутренние силы в брусе уравновешива­ют изгибающий момент и поперечную силу. Изгибающий момент уравновешивается нормальными напряжениями, а поперечная сила - касательными, которые пропорциональны поперечной силе Q. Средняя величина этих касательных напряжений определяется по известной нам формуле:

Если положить два бруса один на другой и изгибать их силой F, то каждый брус будет деформироваться независимо от другого; нижние волокна будут растягиваться, а верхние - сжиматься. По плоскости соприкосновения один брус будет скользить по другому и концевые сечения брусьев разой­дутся. Чтобы заставить брусья работать как одно целое, нужно по плоскос­ти соприкосновения приложить касательные усилия , как показано на рис. 2.29б. В целом брусе верхняя часть не может сдвинуться относительно нижней; это и вызывает действие касательных усилий (напряжений) по пло­щадкам, параллельным нейтральному слою, т.е. между горизонтальными слоями бруса.

Формула для определения касательных напряжений в балках симметрич­ного сечения была впервые выведена в 1895 г. русским инженером мостостроителем Д.И.Журавским. Потребность в такой формуле была вызвана тем, что в прошлом веке при строительстве мостов широко применялись де­ревянные конструкции, а балки из древесины обычно имеют прямоугольное сечение и плохо работают на скалывание вдоль волокон.

Рис. 2.29

Формула имеет следующий вид:

, (2.25)

где Q- поперечная сила в сечении;

S_х- статический момент относительно нейтральной оси части попереч­ного сечения, расположенной по одну сторону от рассматриваемых волокон;

J_x – момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

b – ширина сечения на уровне волокон, где определяются напряжения. Для прямоугольного сечения: S_x = , J_x =, тогда  =.

Так как– среднее касательное напряжение, то максимальные касательные напряжения в 1,5 раза больше средних. Касательные напряжения достигают больших значений только при  . В других случаях они невелики.

Проверку прочности балки по касательным напряжениям необходимо делать при очень коротких балках и при резко меняющихся размерах сечения по высоте.

Понятия о линейных и угловых перемещениях. При изгибе сечения балки перемещаются перпендикулярно к оси балки и поворачиваются вокруг своих нейтральных осей (рис. 2.30). Возможны случаи, когда балка, удовлетворяя условию прочности, не обладает достаточ­ной жёсткостью, т.е. прогибы и углы поворота сечения недопустимо велики.

Рис. 2.30

Допустимый прогиб балок в машиностроении очень невелик. Обычно он назначается в долях от пролёта балки и составляет от 1/200 до 1/1000 пролёта (межопорного расстояния).

Величины прогибов и углов поворота в зависимости от балки и схемы её нагружения можно найти в справочной литературе.