2.6. Напряжения в наклонных сечениях. Главные напряжения

Если растягиваемый брус разрезать косо, то в наклонном сечении будут и нормальные и касательные напряжения (рис. 2.7). Определим их величину. Полные напряжения в наклонном сечении определятся по формуле:

р =,

где F_n - растягивающая сила; А_φ - площадь наклонного сечения.

Но А_φ = А / cos φ , где А - площадь поперечного сечения, φ - угол между поперечным и наклонным сечениями. Тогда

р = = σ cos φ.

Поскольку полные напряжения р можно разложить на нормальные и касательные напряжения, то

σ_φ = рcos φ = σ cos² φ

τ_φ = р sin φ = σ sin φ cos φ = σ sin 2φ /2.

При φ = 45° σ_φ = τ_φ = σ/2

Рис. 2.7

Максимального значения нормальные напряжения достигают при φ = 0, т.е. в поперечных сечениях σ_φ = σ, касательные - при φ = 45°. При φ = 90° σ_φ = 0, τ_φ = 0 .

В продольных сечениях бруса нет ни касательных, ни нормальных напря-жений. Из сказанного следует, что, говоря о напряжении в данной точке, всегда необходимо указывать положение секущей плоскости, в которой это напряжение возникает.

Cовокупность нормальных и касательных напряжений, возникающих в бесчисленном множестве различно ориентированных площадок, проходящих через данную точку, характеризует н а п р я ж е н н о е с о с т о я н и е в д а н- н о й т о ч к е.

Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю, называются

г л а в н ы м и п л о щ а д к а м и, а возникающие в них нормальные напряжения – г л а в н ы м и н а п р я ж е н и я м и.

Теория упругости доказывает, что в общем случае напряженого состояния в зоне исследуемой точки могут существовать три взаимно перпендикулярные главные площадки. В зависимости от количества таких площадок (σ ≠ 0) различают три основных вида напряженого состояния: л и н е й н о е (одноосное), п л о с к о е (двухосное) и о б ъ е м н о е (трехосное). В дальнейшем нас будут интересовать только первые два вида напряженного состояния.

Рис. 2.8

2.7. Статически определимые и статически неопределимые системы

Системы, внутренние силы в которых от заданной нагрузки можно определить из уравнений их равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми системами.

Система статически н е о п р е д е л и м а, если число реакций ее связей и внутренних сил превышает число независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для этой системы.

Разность числа неизвестных сил и числа независимых уравнений равновесия называют с т е п е н ь ю с т а т и ч е с к о й н е о п р е д е л и м о с т и системы.

Уравнения равновесия дополняют уравнениями перемещений. Их составляют, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая соотношения между перемещениями ее сечений или узлов.

Построение эпюры продольных сил в брусе производится, как и в случае статически определимой системы.