1.3.3 Свободные прямолинейные колебания материальной точки

Материальная точка М массой m движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы F, направленной к центру колебания О.

F = -cx,

где c - постоянный коэффициент пропорциональности.

Дифференциальное уравнение колеблющейся материальной точки

m = -cx (1.96)

Разделим левую и правую часть на m и введем обозначение c/m = k² и перенесем в левую часть.

= 0 (1.97)

Получили линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения имеет вид

x = C₁coskt + C₂sinkt (1.98)

Уравнение гармонических колебаний материальной точки, где C₁ и C₂ - прозвольные постоянные, определяемые по начальным условиям движения t = 0, x = x₀ , V = V₀;

V = dx/dt = -C₁ ksinkt + C₂ kcoskt (1.99)

x₀ = C₁, V₀ = C₂ k  C₁ = x₀ , C₂ = V₀ /k, подставим в (1.98), получим

(1.100)

искомый закон движения точки М.

Для анализа свободных колебаний дифференциальное уравнение (1.98) лучше представить в амплитудной форме, где C₁=A sinα, C₂=A cosα

x = A sin(kt +α), (1.101)

следовательно, в случае прямолинейного движения под действием притягивающей силы, пропорциональной расстоянию от центра притяжения, материальная точка совершает гармонические колебания.

Величина наибольшего отклонения точки М от центра О, называется амплитудой – A колебания; аргумент (kt + α) называется фазой колебания; α – начальная фаза колебания, k – круговая частота колебаний. График гармоничес-ких колебаний - синусоида.

Скорость точки определяется по формуле:

V = dx/dt = Аkcos(kt + α) (1.102)

Амплитуда A и начальная фаза α определяются по начальным условиям движения. Пусть при t = 0, абсцисса точки М = x₀, а скорость V₀.

x₀ = Аsinα , V₀ =Аkcosα , получаем

А = и tgα = (1.103)

Найдем полный период колебаний -T, т.е. тот промежуток времени, по истечении которого точка возвращается в данное положение с той же самой скоростью.

T = 2π /k или T = 2π (1.104)

Частота и период свободных колебаний точки зависят лишь от массы этой точки и от коэффициента -с, характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения, k = 2 π /T - круговая частота колебаний определяет число полных колебаний, которые совершает точка в течение 2π секунд.