3.3. Измерительные мосты

3.3.1. Основные определения и формулы

Важным видом измерительных цепей являются мостовые цепи. В них можно выделить три ветви (рис.13): диагональ питания П, диагональ указателя равновесия Г (нулевая ветвь) и ветвь измеряемого сопротивления (датчика) Д. Основными характеристиками моста являются его входные сопротивления со стороны диагоналей питания Zп_Вх0 и указателя равновесия Zг_Вх0, взаимное сопротивление ветви указателя равновесия и ветви измеряемого сопротивления Z1г'.

Для уравновешенного моста

Zп_Вх = [(Z1₀+Z2)(Z3 +Z4)]/(Z1₀ +Z2 +Z3+Z4)=

=Z1₀ (1+m)*n/(1+n); (3.19)

Zг_Вх0 = [(Z1₀+Z3)(Z2 +Z4 )]/(Z1₀+Z2+Z3+Z4)=

=Z1₀ (1+n)*m/(1+m); (3.20)

Z1г' = Z1₀ (1+n) (3.21)

где Z1₀  - значение Z1  при равновесии моста; m = Z2/Z1₀; n = Z3 /Z1₀.

Еще одной важной характеристикой мостовой схемы является чувствительность. Определяют ее значение по току, напряжению и мощности вблизи состояния равновесия моста.

Эквивалентная схема катушки индуктивности содержит последовательно включаемое сопротивление (сопротивление провода, которым наматывается катушка), а эквивалентная схема конденсатора - последовательно или параллельно включаемые сопротивления потерь и утечки соответственно. Для их оценки используются понятия добротности Q и тангенса угла потерь tg :

для схемы рис.14 Q= w *L1 / R1 = 1/ (w *C4 *R4) (3.29)

tg  = w * C4 * R4 (3.30)

для схемы рис.15 Q= = w *L1 / R1 = w *C4 *R4 (3.31)

tg  =1/ (w * C4 * R4) (3.32)

Рис. 14 Рис. 15

Равновесие моста имеет место при подборе плеч таким образом, чтобы ток в диагонали указателя равновесия отсутствовал, т.е. при

Z1Z4 =Z2Z3 , (3.22)

где Z1,Z2,Z3,Z4 - полное сопротивление соответствующих плеч моста.

Полное комплексное сопротивление i-го плеча может быть выражено в алгебраической или показательной форме, т.е.

Zi =Ri +jXi  или  Zi =zi *e ^ji  , (3.23)

где Ri,Xi  - активное и реактивное сопротивление i-го плеча; zi  - модуль полного сопротивления i-го плеча; i  - угол сдвига тока относительно напряжения i-го плеча.

Соответственно в алгебраической и показательной форме могут быть представлены и условия равновесия моста:

 R1R4 – X1X4 = R2R3 – X2X3 (3.24)

R1X4 + X1R4 = R2X3 + X2R3 (3.25)

z1 * z4 = z2 * z3 (3.26)

1+ 4 =  2 +  3 (3.27)

Наличие двух уравнений означает необходимость регулирования не менее двух параметров моста переменного тока для достижения его равновесия. Существуют различные схемы уравновешивания моста (рис. 14-19).

Мост постоянного тока (рис. 20) можно рассматривать как частный случай моста переменного тока. Условие равновесия моста постоянного тока:

R1*R4 =R2 * R3 (3.28)

Рис. 16 Рис. 17

Рис. 18 Рис. 19

3.3.2. Примеры решения задач

Пример 3.16. На рис.20 представлена уравновешенная мостовая цепь постоянного тока. Определить R1, если известно, что R2 = 100 Ом, R3 = 25 Ом, R4 = 50 Ом.

Решение.

Условие равновесия моста постоянного тока имеет вид:

R1*R4 = R2*R3,

откуда R1 = R2*R3/R4 = 100*25/50 = 50 Ом.

Пример 3.17. Известны значения плеч моста (рис.20): R2 = 10 Ом; R3 = 1500 Ом; R4 = 1000 Ом; Rг = 100 Ом; Rп = 10 Ом. Определить: 1)сопротивление R1 при котором мост уравновешен; 2) входное сопротивление моста со стороны диагонали питания Rп.п.; 3)входное сопротивление моста со стороны диагонали указателя равновесия Rг.г.; 4)взаимное сопротивление между ветвью измеряемого сопротивления и ветвью указателя равновесия R1Г. Пункты 2, 3, 4 определить для уравновешенной мостовой цепи.

Решение.

Сопротивления R1, Rп.п., Rг.г. определяются по формулам:

R1= R2*R3/R4 = 10*1500/1000 = 15 Ом;

Rп.п.=Rп + R 4п.вхо = Rп + R1*n(1+m)/(1+n) = 34,75 Oм;

Rг.г.=Rг +Rг.вхо = Rг + R1*m(1+n)/(1+m) = 706 Ом,

где m = R2/R1 = 10/15; n = R3/R10 = 1500/15 = 100.

Сопротивление R_Г можно определить, если в ветвь R1 ввести некоторую э.д.с. Е и определить ток Iг, который она вызывает в ветви Г указателя равновесия. Тогда R_1Г = E/Iг. Однако в данном случае R_1Г определить легче, если э.д.с. Е включить в ветвь указателя равновесия и найти ток I1 , который она вызывает в ветви R1. В этом случае

R_1Г = E/I1 ; I1 =[E/(R_Г+Rг.вхо)]*[(R2+R4)/(R1+R2+R3+R4)].

Подставив в формулу для R_1Г соответствующие числовые значения, получим R_1Г.=(R_Г+Rг.вхо)(R1+R2+R3+R4)/(R2+R4)=Rг.г.(R1+R2+R3+R4)/(R2+R4) = 1765 Oм,

или R_1Г. = R_1Г.'(1+K_Г) = R1(1+n)(1+K_Г), где К_Г=R_Г/Rг.вхо=R_Г/(Rгг–R_Г);

К_Г=100/(706-100)= 0,165 ; R_1Г. = 15(1+100)(1+0,165) = 1765 Ом.

Пример 3.18. Каким должно быть критическое сопротивление Rкрит. гальванометра в схеме моста (рис.20), если Rп = 0, R1= 1 кОм, R2 =2 кОм, R3 = 1,5кОм, R4 = 3 кОм.

Решение.

Rкрит =Rг.вхо; Rг.вхо= (R1+R3)*(R2+R4)/(R1+R2+R3+R4) = 1667 Ом.

Пример 3.19. Мостовая цепь, показанная на рис.18 уравновешена. Определить Rх и Lх, если известно, что R2=5 Ом, L2=0,1 Г, R3=10 Ом, R4=20 Ом.

Решение.

Полагая Rх=R1; Lх=L1, а также учитывая, что Х3=Х4=0 из первого уравнения равновесия моста (3.24) находим:

R1*20–*L1*0 = 5*10–*0,1*0; Rх=R1=50/20=2,5 Ом.

Из второго уравнения (3.25) определяем L_Х

2,5*0+20*L1 = 5*0+10*  *0,1; Lх=L₁=10*0,1* / 20= 0,05 Гн.

Пример 3.20. Мост, показанный на рис.19 уравновешен при следующих значениях параметров электрической цепи:R₂=2000 Ом; C₀=100 пФ; R4=10 кОм; C4=0,005 мкФ; ₃tg ₃=0; ₄tg ₄=0; f=50 Гц. Определить Rх, Cх и tg х.

Решение.

Rx =(C4/C0)*R2 =0,005*10^6*2000/(100*10^12) = 100 кОм;

Cx = (R4/R2)*C0 = 10000*100*10^12/2000 = 500 пФ;

tg х = CхRх = 2*3,14*50*500*10^6*10⁵ = 0,005 рад.

Пример 3.21. Мост постоянного тока (рис.20) имеет параметры:R2=10 Ом; R3=1500 Ом; R4=1000 Ом; R_Г=100 Ом; Определить чувствительность моста по току Sоi, напряжению Sou и мощности Sow к изменению Ri, если Uп=4 В.

Решение.

Чувствительность по напряжению вблизи состояния равновесия определяется по формуле Sou = In*m*n/[(1+m)(1+n)]

In, m, n находятся по формулам:

In=Un/Rn.вхо=Un(R1+R2+R3+R4)/[(R1+R2)(R3+R4)]=Un(1+n)/R1(1+m)n;

m = R2/R1 = 10/16; n = R3/R1 = 1500/15 = 100.

Подставляя эти значения в формулу чувствительности, получим:

Sou=Un*m /[R1(1+m)²] = 4*10*15² /[15*15(15+10) ²] = 64*10^3  В/Ом.

Чувствительность моста по напряжению к относительному изменению R_I равна:

S’ou  = Sou*R₁₀ = 64*10^3*15 = 0,96 B

Чувствительность по току

S_0I =Sou/(R_Г+Rг.вхо)= 64*10^3/[100+(15+1500)(10+1000)/2525]=90*10^6 A/Ом

Чувствительность по току к относительному изменению R_I

S’_0I = Sou/R_Г+Rг.вхо = 0,96/(100+606) = 13,6*10^4 A.

Чувствительность моста по мощности к относительному изменению сопротивления вблизи состояния равновесия

S’ow = S’oi²*R_Г = 13,6²*10^8 * 100 = 185*10^6 Вт.