Решение:

Рассмотрим эксплуатацию одного изделия в течение заданного времени как отдельный независимый опыт.

В этом опыте случайное событие – безотказная работа может произойти с вероятностью и не произойти с вероятностью .

По условию имеем пять повторений опыта независимым образом.

Вероятность безотказной работы не менее 3 изделий вычисляем как:

Ответ: , .

Задача №343. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х. Найти интегральную функцию распределения F(x), математическое ожидание M(x), дисперсию D(x) и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х.

	1	3	5	7	9
	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Решение:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Функция распределения ДСВ Х имеет ступенчатый график:

Если , то событие невозможное и.

Если , то событие совпадает с событием , то есть для интервала : .

Если , то событие совпадает с суммой несовместных событий и . Тогда для интервала :

Если , то

Если , то

Если , то

Интегральная функция распределения:

Построим график функции :

Ответ: , ,

Задача №353. При обследовании более объектов установлено, что значения некоторого размера Х всех объектов попали в интервал . Есть основания считать, что случайная величина Х имеет нормальное распределение. Найти математическое ожидание , среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания значения размера Х в интервал .

Решение:

По правилу трех сигм. Заданный интервал соответствует интервалу .

Математическое ожидание (середина интервала): .

Среднее квадратичное отклонение: .

Ответ: , ,

Контрольная работа №10.

Задача №365: Получены 100 статистических значений непрерывной случайной величины Х и выполнена группировка этих значений по интервалам, в результате которой имеем следующие границы интервалов и соответствующие частоты . Найти статистические оценки математического ожидания , дисперсии и среднего квадратического отклонения ; построить гистограмму относительных частот и график теоретической плотности распределения; выполнить проверку гипотезы о виде распределения по критерию Пирсона.

	2	4	6	8	10	12	14
	4	6	8	10	12	14	16
	1	10	20	33	25	9	2

Решение:

Объем выборки , то есть:. Число интервалов .

Длина всех интервалов является постоянной величиной, .

Середина каждого интервала: ; , , , , ,

Относительная частота на каждом интервале: , , ,

, , , .

Проверка суммы значений относительных частот:

Для построения гистограммы относительных частот вычисляем величину :

, , , , , ,

Статистической оценкой математического ожидания является средняя выборочная:

Статистической оценкой дисперсии является выборочная дисперсия:

Выборочное среднее квадратическое отклонение . Примем значения теоретических величин – математического ожидания и среднего квадратического отклонения равными их статистическим оценкам: , .

В точках вычисляем значения плотности нормального распределения :

, , , , , ,

Построим чертеж с нанесением гистограммы относительных частот (статистической плотности распределения) по значениям и графика теоретической плотности. Достаточное соответствие гистограммы и графика позволяют выдвинуть гипотезу: изучаемая случайная величина имеет нормальное распределение с плотностью .

Проверяем эту гипотезу по критерию Пирсона. Для этого сначала вычисляем теоретические вероятности попадания в интервалы группировки :

Сумма вычисленных вероятностей: .

Рассчитываем теоретические частоты и округлим их значения до целого числа:

, т.е. , , т.е. , , т.е. , , т.е. , , т.е. , , т.е. , , т.е. .

Вычисляем значение критерия Пирсона.

Значения вычисленных величин записываем в таблицу:

								pi
1	2	4	3	1	0,01	0,005	0,0069	0,0163	2
2	4	6	5	10	0,1	0,05	0,039	0,0824	8
3	6	8	7	20	0,2	0,1	0,112	0,2225	22
4	8	10	9	33	0,33	0,165	0,164	0,3178	32
5	10	12	11	25	0,25	0,125	0,122	0,2424	24
6	12	14	13	9	0,09	0,045	0,046	0,0942	9
7	14	16	15	2	0,02	0,01	0,0088	0,0205	2

Задание 1

Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания рабочего первый станок – 0,6; второй – 0,8; третий – 0,5. Найти вероятность того, что в течение часа:

а) хотя бы один станок потребует внимания рабочего

б) потребуют внимания рабочего два станка.

Решение:

Обозначим через А1, А2, А3 события, состоящие в том, что в течение смены не остановятся соответственно первый, второй и третий станки.

а) Событие А, состоящее в том, что в течение часа ни один из станков не потребует внимания рабочего, т.е. ни один из станков не остановится равна:

Вероятность того, что в течение часа станок (любой) потребует внимания рабочего, вычислим по правилу вычисления вероятностей противоположного события:

Значит, вероятность события В, состоящего в том, что в течение часа хотя бы один из трех станков потребует внимания рабочего и событие А, противоположны. Т.е.

б) Событие С состоит в том, что потребуют внимания рабочего ровно два станка.

Событие С можно представить в виде:

Указанные слагаемые представляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

.

Так как события независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:

Ответ:

а) вероятность того, что в течение часа хотя бы один из трех станков потребует внимания рабочего

б) вероятность того, что потребуют внимания рабочего ровно два станка равна

Задание 2

Для подготовки к соревнованиям были отобраны 4 курсанта первого взвода, 9 курсантов второго взвода и 7 курсантов третьего взвода. Вероятность выиграть соревнования для курсанта первого взвода равна 0,7; для второго - 0,8; для третьего – 0,9 Оказалось, что наугад выбранный курсант оказался победителем соревнований. Из какого взвода вероятнее всего был этот курсант?

Решение:

Введем обозначения событий:

А - «Курсант победил в соревнованиях»

Н₁ – «Курсант первого взвода»

Н₂ – «Курсант второго взвода»

Н₃ – «Курсант третьего взвода»

Тогда

Если А - событие, состоящее в том, что наугад выбранный курсант победил в соревнованиях, то Р(А) находим по формуле полной вероятности:

В нашем случае

По условию:

Следовательно,

Выбранный наугад курсант победил в соревновании. Требуется определить вероятность того, что он с первого, второго или третьего взвода.

а) вероятность того, что курсант с первого взвода.

Для этого воспользуемся формулой Байеса:

В нашем случае

б) вероятность того, что курсант со второго взвода.

в) вероятность того, что курсант с третьего взвода.

Следовательно, вероятнее всего курсант был со второго взвода, так как эта вероятность больше двух остальных,

Ответ: вероятнее всего курсант был со второго взвода.

Задание 3

Завод выпускает 99,8% качественных изделий и 0,2% бракованных изделий. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 170 изделий число бракованных будет большее 12.

Решение:

По условию вероятность того, что изделие с браком, равна р=0,002, а вероятность того, изделие качественно равна q=0,998.

Вероятность того, что в 170 испытаниях событие А - "изделие бракованное" - появится от k₁=12 до k₂=170 вычислим по формуле:

Где

Согласно условию,

Значит,

Таким образом, вероятность того, что среди 170 изделий бракованных будет более 12 равна

Вероятность того, что в 170 испытаниях событие А - "изделие бракованное" - появится от k₁=0 до k₂=12 вычислим по формуле:

Согласно условию,

Значит,

Таким образом, вероятность того, что среди 170 изделий бракованных будет не более 12 равна

Ответ: вероятность того, что среди 170 изделий бракованных будет более 12 равна ; вероятность того, что среди 170 изделий бракованных будет не более 12 равна

Задание 4

Среднее время работы каждого из двух элементов, входящих в пожарно-техническое устройство, равно 1000 часов. Для безотказной работы устройства необходима безотказная работа каждого элемента. Определить вероятность того, что устройство будет безотказно работать от 900 до 950 часов, если время Т работы элементов независимо и распределено по показательному закону.

Решение:

По условию математическое ожидание равно среднему времени работы каждого из двух элементов, входящих в пожарно-техническое устройство, равно 1000 часов: . Так как время Т работы элементов независимо и распределено по показательному закону, то

Тогда функция распределения СВ Х равна:

Следовательно,

Ответ: вероятность того, что устройство будет безотказно работать от 900 до 950 часов равна

Задание 5

Плотность вероятности СВ Х задана выражением

Найти:

а) коэффициент с;

б) математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х);

в) функцию распределения F(Х);

г) вероятность попадания величины Х в интервал (1,5;2,5)

д) построить графики функций F(Х) и р(Х)

Решение:

Найдем постоянный множитель с.

Согласно свойству плотности вероятности: , следовательно:

Следовательно, плотность вероятности имеет вид:

Функция распределения вероятности

Если , то , следовательно

Если , то

Если , то

Следовательно функция распределения имеет вид:

2) Вычислим числовые характеристики случайной величины Х:

Математическое ожидание М(Х)

,

Дисперсия

Cреднее квадратическое отклонение (Х)=

3) Построим графики функций F() и р().

график функции распределения вероятностей F(x)

график плотности вероятностей f(x)

Вероятность того что СВ Х примет значение из интервала равна

Ответ: 1)

2); , =2,1134,

Задание 6

Производится стрельба снарядами по мосту шириной 20 м. При попадании одного снаряда мост разрушается с вероятностью 0,4; при попадании двух снарядов – с вероятностью 0,8; при попадании трех снарядов мост будет разрушен. Считая, что отклонение Х точки попадания снаряда от средней линии моста подчиняется закону с m=0 и средним квадратическим отклонением м, найти вероятность разрушения моста.

Решение:

Рассмотрим четыре гипотезы:

Н₀ - в мост не попало ни одного снаряда.

Н₁ - в мост попал один снаряд,

Н₂ - в мост попало два снаряда

Н₃ - в мост попало три снаряда.

Условные вероятности события А (мост разрушен) при этих гипотезах равны:

Вероятность попадания в мост при одном выстреле найдем используя формулу:

1) Если был произведен всего один выстрел, то могут произойти только две гипотезы:

Н₀ - в мост не попало ни одного снаряда.

Н₁ - в мост попал один снаряд,

Найдем вероятности этих гипотез:

Применяя формулу полной вероятности, получим

Значит вероятность того, что мост будет разрушен при одном выстреле равна

2) Если было произведено два выстрела, то могут произойти только три гипотезы:

Н₀ - в мост не попало ни одного снаряда.

Н₁ - в мост попал один снаряд,

Н₂ - в мост попало два снаряда

Найдем вероятности этих гипотез, если вероятность попадания в мост при одном выстреле равна 0,4714

Применяя формулу полной вероятности, получим

Значит вероятность того, что мост будет разрушен при двух выстрелах равна

3) Если было произведено три выстрела, то могут произойти только три гипотезы:

Н₀ - в мост не попало ни одного снаряда.

Н₁ - в мост попал один снаряд,

Н₂ - в мост попало два снаряда

Н₃ - в мост попало три снаряда.

Найдем вероятности этих гипотез, если вероятность попадания в мост при одном выстреле равна 0,4714

Применяя формулу полной вероятности, получим

Значит вероятность того, что мост будет разрушен при трех выстрелах равна

Ответ:

1) Вероятность того, что мост будет разрушен при одном выстреле равна

2) Вероятность того, что мост будет разрушен при двух выстрелах равна

3) Вероятность того, что мост будет разрушен при трех выстрелах равна

Задание 7

СВ Х – число пожаров, произошедших за одни сутки в городе. Данные за год приведены в таблице:

Х	0	1	2	3	6	8
n	242	24	19	25	35	20

Для СВ Х:

1. найти статистический ряд распределения;

2. построить полигон относительных частот;

3. построить эмпирическую функцию распределения;

4. найти оценки математического ожидания и дисперсии;

5. найти среднее число пожаров, происходящих за одни сутки;

6. в предположении, что СВ Х имеет распределение Пуассона, определить вероятность возникновения более одного пожара в течение недели;

7. проверить с помощью χ² – критерия статистическую гипотезу о пуассоновском распределении СВ х при уровне значимости α=0,1

Решение:

1. Для построения статистического ряда Найдем относительные частоты появления признака по формуле:

Таким образом, получаем вариационный ряд:

x	n	относитльная частота
0	242	0,6630
1	24	0,0658
2	19	0,0521
3	25	0,0685
6	35	0,0959
8	20	0,0548
Σ = 20	365	1

2. Строим полигон относительных частот случайной величины.

а) Для построения полигона частот на оси абсцисс откладываем варианты х_i, а на оси ординат - соответствующие им частоты; соединив точки (x_i;ω_x) получим искомый полигон относительных частот.

3. Найдем эмпирическую функцию распределения СВ и построим ее график.

При .

При значениях х, заключенных в интервале , .

При значениях х, заключенных в интервале ,

При значениях х, заключенных в интервале ,

При значениях х, заключенных в интервале ,

При значениях х, заключенных в интервале ,

При значениях х, заключенных в интервале ,

Таким образом, получаем значения и график эмпирической функции распределения:

4. Вычислим основные числовые характеристики данного эмпирического распределения:

Для упрощения расчетов составим таблицу:

x	n	относитльная частота	xini	xi2ni
0	242	0,6630	0	0
1	24	0,0658	24	24
2	19	0,0521	38	76
3	25	0,0685	75	225
6	35	0,0959	210	1260
8	20	0,0548	160	1280
Σ = 20	365	1	507	2865

Таким образом,

выборочная средняя равна:

выборочная дисперсия:

выборочное среднее квадратическое отклонение:

Найдем точечные оценки параметров нормального распределения.

Точечной оценкой математического ожидания является выборочная средняя:

Точечной несмещенной оценкой дисперсии является несмещенная выборочная дисперсия:

тогда

Примем в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочную среднюю: λ=1,3899. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона:

имеет вид:

Положив i=0, 1, 2, 3, 6, 8 найдем вероятности возникновения пожаров за 365 дней.

Таким образом, вероятность того, что произойдет более одного пожара равна 0,24051+0,11136+0,00249+0,00009=0,35445

Найдем теоретические частоты по формуле . Затем сравним эмпирические и теоретические частоты. Для этого составим расчетную таблицу и найдем наблюдаемое значение критерия:

x	n	Рi	Рini=ni΄	ni-ni΄	(ni-ni΄)2	(ni-ni΄)2/ni΄
0	242	0,24932	60,33544	181,6646	33002,0124	546,9755812
1	24	0,34631	8,31144	15,68856	246,130915	29,6135104
2	19	0,24051	4,56969	14,43031	208,233847	45,56848423
3	25	0,11136	2,784	22,216	493,550656	177,2811264
6	35	0,00249	0,08715	34,91285	1218,9071	13986,31205
8	20	0,00009	0,0018	19,9982	399,928003	222182,224
20	365					236967,9748

Таким образом, χ²_набл=236967,9748

По таблице критических точек распределения χ², по уровню значимости α=0,1 и числу степеней свободы k=8-2=6 находим критическую точку χ²_крит=10,6.

Так как χ²_набл> χ²_крит, то гипотеза о распределении Пуассона отвергается.

Литература

1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов: Экспресс-курс. - М.: Новое знание, 2002

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1988

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1987

4. Гусак А.А. Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. / Изд. 2-е, - Мн.: «Тетрасистем», 2000

83