Условия равновесия тела в пространстве и на плоскости
Тело
в пространстве находится в состоянии
равновесия, если главный вектор и главный
момент системы сил=0. Если рассматривать
пространственную систему сил, то эти
условия преобразуются:
=0,
=0,
=0,
=
,
=
,
=
Если
тело находится на плоскости, то оно
находится в состоянии равновесия, если
главный вектор и главный момент системы
сил=0 (R=0,
=0).
Если тело рассматривают относительно плоской системы координат, то условие равновесия примет вид:
=0,
=0,
=
Лекция №4.29.03.18 Кинематика
Кинематика – раздел ТМ, который изучает геометрические свойства движения точек без учета инертности (массы) и действующих на них сил.
К Геометрическим свойствам движения относятся траектория, скорость и ускорение точки.
Траектория – это непрерывная линия, по которой движется точка и тело относительно выбранной системы отсчёта. Траектории бывают плоские и пространственные. К плоским траекториям относятся прямая, парабола, гипербола, окружность, эллипс. К пространственным траекториям относятся параболоид, гиперболоид, сфероид и т. д. Траектории бывают прямолинейными и криволинейными. В зависимости от выбранной системы отсчёта одна и та же траектория может быть как криволинейной, так и прямолинейной.
Геометрическое свойство движения: перемещение – векторная величина, характеризующая отрезком, соединяющим начальное и конечной положение точки на траектории. Путь – скалярная величина, которая является расстоянием, пройденным точкой или телом по траектории движения.
Если точка движется по криволинейной траектории, перемещение и путь имеют разную дугу, если точка движется по прямолинейной траектории, то перемещение и путь совпадают и имеют одинаковую длину.
Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения точки или тела по модулю и по направлению, измеряется в м/с.
Скорость характеризуется числовым значения, направлением и точкой приложения. Скорость всегда действует по касательной к траектории движения и направлена в сторону движения точки или тела. Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости точки или тела по модулю и по направлению, измеряется в м/с2.
Ускорение характеризуется числовым значения, направлением и точкой приложения.
Ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории движения точки или тела.
Кинематика делится на кинематику простого объекта и кинематику сложного объекта.
Кинематика точки
Существует 3 способа задания движения точки. 1.Векторный 2.Координатный. 3.Естественный.
Векторный
В
этом способе задаётся радиус-вектор
как функция времени
,
который должен быть дважды дифференцирован.
Последовательн.полож-е концов векторов
радиус-вектора определяет траекторию
движ.точки.
Скорость
бывает средней и мгновенной. Средняя –
векторная величина, характеризующая
быстроту изменения положения точки по
модулю и по направлению за некоторый
промежуток времени, она определяется
отношением приращения радиус-вектора
к приращению времени.
.
Приращение радиус-вектора направлено
в сторону движения точки. Ucр
действует в ту же сторону, что и приращение
радиус-вектора и прикладывается в любой
точке на траектории движения. Мгновенная
скорость (или скорость) – это векторная
величина, характеризующая быстроту
изменения положения точки по модулю и
по направлению в данный момент времени.
Она определяется пределом отношения
приращения радиус-вектора к приращению
времени. U=
Скорость действует по касательной к траектории движения точек тела и направлена в сторону его движения.
Ускорение бывает среднее и мгновенное. Среднее – векторная величина, характеризующая изменение скорости точки по модулю и по направлению за некоторый промежуток времени, определяется отношением приращение скорости к приращению времени.
.
Среднее ускорение действует в ту же
сторону, что и приращение скорости и
прикладывается к произвольной точке
на траектории движения.
Мгновенное ускорение (ускорение) – векторная величина, характеризующая скорости точки по модулю и по направлению в данный момент. Определяется пределом отношения приращения скорости к приращению времени.
а=
Ускорение действует в сторону вогнутости траектории.
Координатный способ
В нём задаются координаты точки, как функции времени – они должны быть дважды дифференцированы.
x=f(t), y=f(t), z=f(t).
Между координатами и радиус-вектором существует зависимость.
=xi+yj+zk
i,j,k – единичные векторы осей
Ux=
; Uy=
Uz=;
– это проекции скорости на оси
Числовое значение скорости можно определить
U=
Направление вектора скорости определяется ч/з соs-ы углов
cos
= cos (
=
cos
= cos (
=
cos
= cos (
=
Ускорение точки определяется по формуле
Проекции ускорения определяются как производные проекций скоростей на оси. Численно ускорение определяется
а=
Направление вектора ускорения определяется ч/з соs-ы углов
cos
= cos (
=
cos
= cos (
=
cos
= cos (
=
/Немного практики/
Плоско-параллельное движения можно рассматривать как вращательное вокруг мгн.центра скоростей и использ.формулу для вращательного движения U=ω*h, где h-расстояние от точки до МЦС звена. В общем случае МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров к векторам скоростей точек тела (звена).
Лекция №5. 12.04.18
Задание движения точки
Скорость задаёт: 1.траектория движения точки. 2.Начало отсчета траектории.
3.Положительное движение 4. Перемещение точки по времени: выбирается траектория, на ней что-то там происходит.
Движение точки в естественном способе рассматривается относительно подвижной системы координат. Состоит из 3 осей: 1.касательная, она направлена по касательной к траектории движения точки.2.нормальная, действует по нормали движения точки и направлена в сторону вогнутости траектории. 3.ось бинормали, действует перпендикулярно плоскости и направлена в ту сторону, откуда вращение происходит по кратчайшему пути, образуется правая система координат.
Скорость точки в векторной форме определяется по формуле:
=
Касательная скорость действует по касательной к траектории движения точки, если касательная скорость >0, то она направлена также, как и эта касательная, если касательная скорость <0, то она направлена в сторону, противоположную касат-й. Касательная скорость является алгебраической проекцией самой скорости точки.
;
|U|=
|=|
Если
,
то приращение перемещения совпадает с
направлением касательной на траектории.
|U|=|Ut|=
;
=единичный
вектор касательной
Понятие угла смежности, кривизна, радиус кривизны определяется произв.единичного вектора касательной по перемещению.
Кривизна – это предел отношения угла смежности к приращению перемещения тела.
Радиус кривизны – это обратное отношение кривизны.
Ускорение в естественном способе определяется:
тогда
касательное ускорение действует по
направлению в сторону касательной оси,
0,
тогда касательное ускорение действует
по направлению в сторону, противоположную
направлению касательной оси.
– нормальное
ускорение. Оно действует по нормали и
направлено в сторону вогнутости
траектории (в сторону оси нормали)
а=
Касательное ускорение характеризует изменение скорости по абсолютной величине.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению (т.к. нормальное ускорение зависит от радиуса кривизны.). Для определения направления полного ускорения рассчитывают угол поворота, он образован нормалью и ускорением точки.
tg
α=
;
sin α=
;
cos α=
Лекция №6. 26.04.18 Кинематика тела
Тело может совершать: 1.поступательное, 2.вращательное, 3.плоско-параллельное. 4.сферическое 5. Общий случай движения. 6.сложное движ.
Поступательное движение тела
Поступательное движ.- такое движение, при котором любая прямая, жёстко связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. Примеры: поршень в двигателе внутреннего сгорания, ползун в механизме, педаль велосипеда.
Свойства поступательного движения: при поступательном движ. Траектории скорости и ускорения точек тела одинаковы.
,
=const
Тогда траектория т. А совпадает с траекторией т. В. Скорости точек определяют дифференцированием радиус-векторов точек.
В
общем случае
B=
A.
Ускорение точки определяется дифференцированием скоростей.
B=
A
Вращательное движение
Вращат.движение– это такое движение тела, при котором любые две его точки, а также точки, лежащие на прямой, соединяющей эти две точки, остаются неподвижными.
Примеры: кулачки, ротор и т.д.
Угол, который образуется между двумя плоскостями – это угол поворота. В общем случае это функция времени.
Угловая скорость определяется по формуле
ω=
,
(к-единичный вектор по оси вращения),
измеряется в рад/с, с-1
Угловое ускорение рассчитывается по формуле
=
Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение считаются положительными, если вращение происходит пр/ч/с и отрицательными, если по/ч/с.
Взаимосвязь скорости и ускорения точки тела ч/з угловые скорости и ускорения тела:Для этого берётся сечение тела.
Т. А неподвижна и является центром вращения тела.
АП2=АП1
s=
R
Скорость будет определяться
Скорость
точки при вращательном движении действует
в сторону угловой скорости тела. Скорость
точки изменяется по линейному закону
относительно центра вращения
Ускорение
а=
,
,
а=
Касательное ускорение действует перпендикулярно радиусу тела и направлено в сторону углового ускорения тела. Нормальное ускорение действует по радиусу к центру вращения тела.
Для определения направления полного ускорения иногда рассчитывают угол поворота полного ускорения.
tg
α=
;
sin α=
cos
α=
;
Плоско-параллельное движение
Плоско-паралл.
Движ.-это такое движение, при котором
тело перемещается параллельно некоторой
неподвижной плоскости. Примеры: блоки,
шкивы, колесо автомобиля, шатун в
механизме. Если провести прямую через
тело
плоскости поверхности, то все точки
прямой будут совершать поступательное
движение – можно рассмотреть движение
одной точки этой прямой, т.к. тело состоит
из множества таких прямых, то достаточно
рассмотреть движение не тела, а его
сечения.
Движение сечения тела характеризуется координатами полюса и углом поворота.
За полюс берут любую точку сечения, координаты которой известны.
Плоско-параллельное движение характеризуется координатами полюса xa=f1(t), ya=f2(t), ф=f2 (t). Плоско-параллельное движение – это поступательное и вращательное движение одновременно (первые две составляющие–поступательные, третья-вращательная).
При плоско-параллельном движении угловая скорость и угловое ускорение определяются как и при вращательном движении.
ω=
=
Лекция №7.10.05.18
Определение скоростей точек при плоско-параллельном движении
А-полюс А(ХА, УА)
UA=
B=
a+
При пл-паралл. Движении вектор АВ является постоянной величиной (его длина не меняется), но меняется его направление (тело поворачивается).
Скорость точек тела определяется дифференцированием данного уравнения.
.
Правило: скорость любой точки тела, совершающей плоско-параллельное движение, складывается из скорости поступательного движения вместе с полюсом и скорости вращательного движения данной точки относительно полюса.
UBA=ω*AB
Скорость
точки А действует по касательной к
траектории движения. Скорость UBA
действует
вектору АВ в сторону угловой скорости.
Воспользуемся теоремой косинусов:
Определение ускорения точек тела при плоско-параллельном движении.
.
Ускорение точек определяется дифференцированием уравнения.
Правило: ускорение любой точки тела, совершающей плоско-параллельное движение складывается из ускорения поступательного движения вместе с полюсом и ускорения вращательного движения данной точки относительно полюса.
Обычно ускорение вращательного движения раскладывают на нормальную и касательную составляющую.
аA=
(а-полюс)
=
ω2*АВ,
=Е*АВ.
Ускорение А всегда действует в сторону
вогнутости траектории точки
действует по отрезку
АВ к полюсу,
действует
отрезку АВ в сторону углового ускорения.
Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей (МЦС)
МЦС–точка тела, скорость которой =0, при непоступательном движении тела она существует и единственна. В общем случае находится на перпендикуляре к скорости точки тела и откладывается в ту сторону, откуда вращение скорости точки тела совпадает с направлением вращения угловой скорости тела.
(AP=UA/ ω)
Способы определения положения МЦС при разных видах движения тела.
1.Поступательное движение. МЦС находится в бесконечности
АP=
2.Вращательное движение. При вращательном движении МЦС находится в точке контакта тела с неподвижной опорой
АP=
,
ОР=
=0
3.Плоско-параллельное движение
1)Даны
UA
и ω, АP=
Направление скорости определяем, поворачивая скорость вокруг МЦС.
2)Даны UA и UB.
МЦС находится на пересечении перпендикуляров к скоростям точек тела.
3) UA || UB, UA не = UB и лежат на общем перпендикуляре
МЦС находится на пересечении общего перпендикуляра к скоростям и прямой, проходящей ч/з концы векторов скоростей
4) UA || UB, UA = UB и не лежат на общем перпендикуляре
МЦС в бесконечности и наступает в данном положении тела мгновенное поступательное движение.
Случаи определения МЦС тела
(по рисунку)
Динамика
Это раздел теор.механики, в котором изучается движение точки или тела под действием сил. В динамике все точки и тела обладают инертностью. Инертность – способность точки или тела сохранять движение при отсутствии действия сил, а при действии сил скорость точки (тела) не изменяться мгновенно.
Количественной мерой инертности при поступательном движении является масса m (кг). Количественной мерой инертности при вращательном движении является момент инерции J (кг*м2). В динамике силы могут быть как постоянными по величине, так и переменными, зависящими от времени, положения и скорости точки или тела
F=F(t, x, y, z, Ux, Uy, Uz)
Лекция №8. 24.05.18. Законы динамики
1)Закон инерции. Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет своё состояние в покое или равномерном прямолинейном движении до тех пор, пока приложенная сила не заставит её изменить это состояние.
Движение,
совершаемое точкой при отсутствии
действия сил, называется движением по
инерции. Движение по инерции – равномерное
прямолинейное движение точки. При
движении по инерции
точки = 0.
2)Основной закон динамики. Произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием силы равно по модулю этой силе, а направления ускорения совпадает с направлением силы.
3)Закон равенства действия и противодействия. Две материальные точки действует друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль одной прямой, соединяющей эти точки в противоположные стороны.
4.Закон независимости действия сил. При одновременном действии на точку нескольких сил, каждая из них сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.
Внешние и внутренние силы, момент инерции относительно точки и оси
В общем случае на каждую точку механической системы действует внешняя и внутренняя сила. Внешняя сила – это сила, действующая на точку механ.системы со стороны других тел или систем (F(E)).
Внутренняя сила – это сила, действующая на точку механ.системы со стороны других точек этой системы.
Для упрощения расчётов все внешние силы приводят к равнодействующей внешних сил и к главному моменту внешних сил.
R(E)=ΣFi (E)
Все внутренние силы приводят к главному вектору внутренних сил и к главному моменту внутренних сил.
Используя 3 закон динамики,
R(i)=
M(i)=
Момент инерции рассчитывается относительно точки или оси. Момент инерции отн.точки равен сумме произведений масс точки системы на квадраты расстояний до центра.
JO=
Осевой момент инерции равен сумме произведений масс точек системы на квадраты расстояний от каждой точки системы до рассматриваемой оси.
Jz=
Между моментом инерции относительно точки и моментом инерции относительно оси координатно существует зависимость.
JO=
Центр массы – геометрическая точка, в которой сосредоточена масса всего тела. Положение центра массы характеризуется радиус-вектором, который определяется.
c=
,
r-радиус-векторы
точек системы, m-масса
системы.
Для симметричных тел центр массы всегда находится на пересечении осей симметрии.
Центр может находится вне тела.
Кинетическая энергия
Кинетическая энергия – это физическая величина, равная половине произведения массы на квадрат скорости
T=
(Дж) –точки
Кинетическая энергия точки определяется, как половина произведения массы на квадрат её скорости. Кинетическая энергия тела определяется суммированием кинетических энергий точек, входящих в тело и рассчитывается по формулам, зависящим от вида движения тела.
1)Поступательное
движение Т=
,
T=
2)Вращательное
движение Т=
=
Jz=
– осевой момент инерции тела
Т=
3)Плоско-параллельное движение
Т=
Т=
+
.
Рассчитывается как сумма кинетических
энергий поступательного и вращательного
движений.
Кинетическая энергия механ.системы определяется суммированием кинетических энергий тел, входящих в систему:
Т=
Работа силы.
Элементарная работа – физическая величина, равная произведению силы на дифференциал радиус-вектора
dA=
d
d
=Ud
dA=
Ud
Элементарная работа силы определяется по формулам, зависящим от способа задания тела.
1)Векторный
dA=
d
2)Координатный dA=Fxdx+Fydy+Fzdz
3)Естественный
dA=
rd
Работа силы определяется интегрированием элементарной работы силы.
Определение работы сил:
Сила
упругости: А=-с*(
*
)
(с-коэфф.жесткости), х1-перемещение тела
в конечный момент, хо=перемещение тела
в начальный момент.
(с листочка)
Теорема об изменении кинетической энергии
Изменение кинетической энергии системы на некотором перемещении равно сумме работы внешних и внутренних сил системы.
Т-То=А(i)+ А(Е)