4. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Література : [2] стор. 31-37

[4] стор. 36-39

4.1.Страхова компанія поділяє застрахованих за класами ризику : перший клас – малий ризик; другий клас – середній ризик; третій клас – великий ризик. Серед усіх клієнтів - першого класу ризику, - другого класу ризику, - третього. Імовірність необхідності виплачувати страхову винагороду для першого класу дорівнює , для другого - , для третього - . Яка ймовірність того, що: а) клієнт отримає винагороду; б) клієнт, що отримає винагороду першого чи третього класу ризику. (табл. 4.1)

№В
1	50	40	10	0,01	0,03	0,04
2	40	30	30	0,01	0,05	0,08
3	10	60	30	0,02	0,03	0,05
4	10	20	70	0,01	0,06	0,08
5	30	40	30	0,03	0,06	0,09
6	60	20	20	0,02	0,03	0,04
7	40	40	20	0,01	0,04	0,05
8	30	20	50	0,01	0,06	0,07
9	80	10	10	0,02	0,07	0,09
10	50	20	30	0,03	0,04	0,05
11	30	20	50	0,02	0,04	0,08
12	20	30	50	0,02	0,05	0,08
13	20	10	70	0,02	0,05	0,09
14	20	20	60	0,02	0,05	0,09
15	30	40	30	0,02	0,04	0,09
16	30	20	50	0,07	0,09	0,08
17	10	20	30	0,07	0,09	0,09
18	40	20	40	0,07	0,09	0,08
19	20	30	40	0,07	0,09	0,06
20	40	50	10	0,07	0,09	0,07
21	50	40	10	0,07	0,09	0,08
22	30	20	50	0,07	0,09	0,09
23	80	10	10	0,07	0,09	0,08
24	60	20	20	0,07	0,09	0,09
25	30	50	20	0,07	0,09	0,08

табл. 4.1

4.2. У першій урні білих і чорних куль, у другий білих і чорних куль. З першої урни дістають К куль і перекладають їх до другої урни, потім з другої урни дістають одну кулю. Визначити ймовірність того, що куля яку дістали біла (табл. 4.2)

№В
1	4	1	2	5	3
2	7	3	5	1	4
3	2	3	5	4	1
4	8	2	3	2	5
5	6	4	1	7	2
6	3	2	4	4	2
7	5	5	4	10	6
8	13	12	4	6	10
9	1	9	3	3	4
10	3	7	5	2	3
11	4	6	7	8	5
12	2	3	7	1	2
13	2	2	3	1	1
14	2	8	3	1	6
15	4	6	3	3	4
16	5	5	4	3	3
17	25	3	25	2	19
18	20	1	40	7	15
19	20	4	25	5	7
20	50	8	20	6	42
21	40	8	10	2	35
22	25	2	20	4	12
23	20	1	40	5	15
24	25	2	25	6	15
25	10	3	50	11	7

табл. 4.2

1. Радіолампа може належати до однієї з чотирьох партій з імовірностями 0,2; 0,5; 0,1; 0,2. Ймовірність того, що лампа пропрацює певну кількість годин дорівнює для цих партій відповідно: 0,9; 0,95; 0,89; 0,85. Визначити ймовірність того, що радіолампа пропрацює певну кількість годин.

2. Три станка-автомата виготовляють однотипні деталі, до того ж перший станок за зміну виготовляє 26% всієї продукції, другий – 34%, третій – 40%. Доля браку у виготовленні продукції першого станка складає 7%, другого – 2%, третього – 5%. Наугад взята деталь виявилася бракованою, а виготовив її третій станок – автомат.

3. Є два ящики. В першому ящику міститься 6 стандартних і 4 бракованих деталі, другий – ящик пустий. З першого ящика навмання беруть 3 деталі і кладуть у другий. Яка ймовірність тепер дістати з другого ящика одну стандартну деталь?

4. На базу надійшли швейні вироби, з яких 25% виготовлені фабрикою № 1, 35% - фабрикою № 2, 40% - фабрикою № 3. Ймовірність того, що виріб, виготовлений фабрикою № 1, буде першого ґатунку, дорівнює 0,9, фабрикою № 2 – 0,95, фабрикою № 3 – 0,85. Наудачу взятий виріб виявився першого ґатунку. Яка ймовірність того, що його виготовила фабрика №2?

5. 21% яблук (у ящиках) надійшов у продаж з держгоспу №1, з них 90% ящиків стандартних; 35% - з держгоспу №2, з них 80% - стандартних; 29% - з колгоспу №1, з цих 70% - стандартних; 15% - з колгоспу №2, з них 80% - стандартних. При відкриванні навмання вибраного ящика яблука визнані стандартними. Визначити ймовірність того, що ці яблука надійшли: 1) з держгосту №1; 2) з держгоспу №2; 3) з колгоспу №1; 4) з колгоспу №2,5) з держгоспу; 6) з колгоспу.

6. Для посіву пшениці заготовлене насіння пшениці, що містить 90% насіння першого ґатунку, 6% - другого, 4% - третього. Ймовірність того, що з зерна виросте колос, що містить не менше 50 зерен, дорівнює для першого ґатунку – 0,7, для другого – 0,5, для третього – 0,1. Яка ймовірність того, що наудачу взятий колос, що виріс з насіння, буде мати не менше 50 зерен?

7. Партія виготовлених деталей перевірялась двома контролерами. Перший контролер перевірив 65% всіх деталей, другий – 35%. Ймовірність припуститись помилки при перевірці для першого контролера дорівнює 0,04, для другого – 0,08. Після перевірки всієї партії деталей, виявлена бракована деталь, що визнана якісною. Яка ймовірність того, що деталь перевіряв другий контролер?

8. На двох станках – автоматах виробляють однотипні деталі, які відправляють на транспортер, продуктивність першого станка в 5 раз більше, ніж другого. Перший станок виробляє стандартну деталь з ймовірністю 0,95, а другий – 0,99. Наулачу взята деталь з транспортера буде стандартною. Яка ймовірність того, що її виготовив перший станок?

9. Виріб перевіряє на стандартність один з трьох контролерів. Ймовірність того, що виріб для перевірки попаде до першого контролера, дорівнює 0,5, до другого – 0,4, до третього – 0,1. Ймовірність того, що виріб буде визнаний стандартним, для першого, другого і третього контролера, відповідно дорівнює 0,9 , 0,8, 0,95. Виріб при перевірці було визнано стандартним. Яка ймовірність того, що його перевірив другий контролер?

10. У ящику 50 пиріжків з м'ясом, 40 пиріжків з картоплею і 30 - з горохом. Серед них відповідно десята частина, двадцята частина і п'ята частина пересмажених. Знайти ймовірність, що навмання вийнятий з ящика пиріжок є пересмажений.

11. Є дві партії деталей. В першій – 16 стандартних і 4 бракованих, у другій – 8 стандартних і 12 бракованих. З першої партії наудачу беруть дві деталі і перекладають у другу. Яка тепер ймовірність дістати з другої партії одну стандартну деталь?

12. В магазин надійшли однотипні вироби. З них 40% виготовлені заводом № 1, 20% - заводом № 2, 15% - заводом № 3 і 25% - заводом № 4. Серед виробів, виготовлених заводом №1, бракованих 2%, заводом № 2, заводом № 3 – 4% і заводом № 4 – 0,5%. Наудачу взятий виріб для перевірки виявився бракованим. Яка ймовірність того, що він виготовлений заводом № 2 або заводом № 4?

13. На складі телевізійного ательє є 45% кінескопів, виготовлених заводом № 1, 35% - заводом № 2. 20% - заводом № 3. Ймовірність того, що кінескоп не вийде зі строю на протязі гарантійного строку служби, дорівнює 0,95 для заводу № 1, 0,98 – для заводу № 2 і 0,88 – для заводу № 3. Наудачу взятий кінескоп витримав гарантійний строк служби. Яка ймовірність того, що його виготовив завод № 2?

14. Двоє робітників виготовляють однотипні деталі, до того ж перший з них виготовив 100 деталей, а другий в 2 раза більше. Ймовірність допустити брак при виготовленні однієї деталі для першого робітника дорівнює 0,04, для другого-0,08. Після зміни всі деталі складають в один ящик. Наудачу взята деталь з ящика виявилась стандартною. Яка ймовірність того, що її виготовив перший робітник?

15. На станцію очищення стічних вод 30% стоку надходить з першого підприємства, 40% - з другого, а решта з третього. Ймовірність появи в стічних водах солей важких металів для першого, другого і третього підприємств відповідно дорівнюють 0,01, 0,02 та 0,04. Визначити ймовірність появи солей важких металів у всьому стоці.

16. На трьох кінофабриках виробляються фільмокопії, першої фабрики в 5 раз більше, ніж другої, а третьої фабрики в 6 раз менше, ніж першої. Ймовірність того, що фільмокопія, виготовлена на першій, другій і третій фабриках, стандартна, відповідно дорівнює 0,9 , 0,95 , 0,89. одержана фільмокопія виявилась стандартною. Яка ймовірність того, що її виготовила друга фабрика?

17. Є два ящика. В першому яшику міститься 7 стандартних і 6 бракованих деталей, другий – пустий. З першого ящика наугад беруть 5 деталей і перекладають у другий. Яка ймовірність дістати з другого ящика одну стандартну деталь?

18. На склад поступає продукція, виготовлена на трьох фабриках, до того ж вироби першої фабрики на складі складають 38%, другій – 42%, третій – 20%. В продукції першої фабрики брак складає – 7%, другої – 3%, третьої – 1%. Наугад взятий виріб з складу виявився годним. Яка ймовірність того, що його виготовила третя фабрика?

19. Складальник телевізорів отримав 3 коробки деталей, виготовлених заводом №1 і 2 коробки деталей, виготовлених заводом № 2. Ймовірність того, що деталь заводу №1 стандартна дорівнює 0,8, а заводу №2 - 0,9. Складальник навмання виймає деталь із навмання взятої коробки. Знайти ймовірність того, що взята деталь стандартна.

20. Кожний вироблений заводом виріб може мати дефект з ймовірністю 0,06. У цеху заводу працюють три контролера. Виріб може з однаковою ймовірністю попасти до одного з них. Контролери виявляють дефекти виробів відповідно з ймовірністю 0,95; 0,99; 0,92. Виріб виявився забракованим. Яка ймовірність того, що його перевірив другий контролер?

21. У кожному з чотирьох кульків цукерок є 30 білочок і 20 гуліверів. З першого кулька навмання взяли одну цукерку і переклали в другий кульок, після чого взяли одну цукерку з другого кулька і переклали в третій, далі аналогічно в четвертий. Знайти ймовірність того, що навмання взята цукерка з четвертого кулька є білочкою.

22. Прилад може працювати протягом зміни в двох режимах. Перший режим спостерігається 75% випадків, другий в 25%. Ймовірність виходу зі строю приладу на першому режимі дорівнює 0,08; на другому 0,1. Протягом зміни прилад вийшов зі строю. Яка ймовірність того, що він працював у другому режимі?

23. На фабриці станок-автомат типу А виготовляє 40% всієї продукції, типу В- 25%, типу С-35%. В середньому 9 з100 одиниць продукції виготовлено станком типу А, виявляються бракованими, у станка типу В – 2 одиниці з 100, у станка типу С – 5 одиниць зі 100. Вся виготовлена станками-автоматами продукція поміщається в одне місце. Наугад взята одиниця продукції виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що одиниця продукції виготовлена станком типу А або типу С?

24. Є два ящика. В першому ящику міститься 8 стандартних і 2 браковані деталі, в другому 5 стандартних і 5 бракованих. З першого ящика наугад беруть дві деталі і перекладають у другий ящик. Яка ймовірність дістати стандартну деталь з другого ящика?

25. Є три групи ящиків до першої групи належать три ящика, в кожному з них міститься по 9 стандартних і 11 бракованих деталей, до другої групи два ящика, в кожному з них міститься по 10 стандартних і 10 бракованих деталей, до третьої – 5 ящиків, в кожному з них міститься по 14 стандартних і 6 бракованих деталей. Яка ймовірність того, що з наугад вибраного ящика наудачу взята деталь буде стандартною.

0Два автомати виробляють однакові деталі, які потім попадаються на спільний конвеєр. Продуктивність першого автомату вдвічі вища за продуктивність другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий - 84%. Знайти ймовірність того, що навмання взята з конвеєра деталь, виявилась відмінної якості.

В магазин надходять телевізори з трьох заводів. Перший завод дає в середньому 0,25% браку, другий - 0,27%, третій - 0,35%. Знайти ймовірність надходження в магазин неякісних телевізорів, якщо з першого заводу надійшло 200, з другого 300, з третього -500 телевізорів.