2. Геометричні ймовірності

Література : [2] стор. 8-18

[4] стор. 10-28

2.1⁰. На відрізок одиничної довжини навмання ставиться точка. Обчислити ймовірність того, що відстань від точки до кінців відрізка перевищує величину .

2.2^*. На відрізок одиничної довжини навмання взято дві точки. Обчислити ймовірність того, що відстань між ними менше .

2.3^*. Моменти початку двох подій навмання розподілені на проміжку часу від до . Одна з подій продовжується 10 хвилин, друга - хвилин. Визначити ймовірність того, що: а) події перекриваються у часі; б) події не перекриваються у часі.

№ варіанту	k	T1	T2	t
	4	900	1000	10
	5	900	1100	20
	6	1000	1100	10
	5	1000	1200	20
	6	1100	1200	15
	7	1100	1300	15
	6	900	930	10
	7	900	1130	20
	8	1000	1030	15
	7	1000	1130	15
	8	1100	1130	5
	5	1100	1230	5
	6	1200	1300	5
	7	1200	1230	10
	8	1200	1330	5
	9	1300	1400	10
	8	1800	1900	10
	7	1800	2000	20
	6	1700	1800	10
	5	1700	1900	20
	4	1900	2000	15
	4	1900	2100	15
	5	1700	1730	10
	6	1700	1830	20
	7	1600	1630	15

табл. 2.1

2.4 У наступних задачах знайдіть геометричні ймовірності.

1. Задані точки: A(3;4); B(5;7); C(9;13), які лежать на одній прямій. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на відрізку АС попаде: а) на відрізок АВ; б) на відрізок ВС; в) на відрізок, обмежений осями координат.

2. У рівнобедреному трикутнику АВС. бічні сторони АС, ВС дорівнюють 5см, a сторона основи AВ дорівнює 6 см. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на: а) висоту СД (на основу) попаде на відрізок ДО від основи висоти до перетину в точці О цієї висоти з бісектрисою кута при основі, б) бісектрису AM кута САВ попаде на відрізок АО; в) бісектрису AM попаде на відрізок ОМ бісектриси AM.

3. Задані точки: А (-10;9); В (10.-3), які належать одній прямій. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на відрізку АВ попаде: а) на відрізок, розміщений між осями координат; б) на відрізок між віссю Ох і точкою В. в) на відрізок між віссю Оу і точкою А.

4. Парабола у=х²-3 і пряма, яка проходить через точки А(-8;7) і В(12;-5) перетинаються в двох точках С і Д(С лівіше Д). Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на відрізку АВ попаде: а) між вітками параболи; б) справа від параболи; в) зліва від параболи.

5. Гіпербола і пряма, яка проходить через точки А(-2;-5) і В(7;7) перетинаються в точках С і Д (С нижче осі Ох, Д вище осі Ох). Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на відрізку АВ попаде: а) на відрізок між вітками гіпербо­ли; б) на відрізок ДВ: в) на відрізок АС.

6. Коло (x+1)²+(y-6)²=41 і пряма, яка проходить через точки А(-9,12) і В(9;-2), перети­наються в точках С і Д(С лівіше ніж Д). Знайти ймовірність того, що навмання позначе­на точка М на відрізку АВ попаде: а) на хорду С,Д; б) на відрізок АС; в) на відрізок ДВ.

7. Графік показникової функціїі пряма, яка проходить через точки А(-3;-1) і В(5;15), перетинаються в точках С і Д (С зліва від осі Оу, Д - справа). Знайти ймовір­ність того, що навмання позначена точка М на відрізку АВ попадає: а) на відрізок між вітками кривої; б) на відрізок АС, в) на відрізок ДВ.

8. Графік логарифмічної функції і пряма; яка проходить через точки А(-27,-1) і В(21;3) перетинаються в точках С і Д(С - зліва від осі Оу, Д - справа) Знайти ймовір­ність того, що навмання позначена точка М на відрізку АВ попадає: а) на відрізок між виками кривої; б) на відрізок АС; в) на відрізок ДВ.

9. Еліпс і пряма, яка проходить через точки А(-6,-3) і В(8,4) перети­наються в точках С і Д (С зліва від осі Оу, Д- справа). Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на відрізку АВ попаде: а) на відрізок СД, б) на відрізок АС, в) на відрізок ДВ.

10. Гіпербола і пряма, яка проходить через точки А(-6;-3) і В(10;5) перетинаються в точках С і Д (С в III чверті, Д - в І ) Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на відрізку - АВ попаде: а) на відрізок між вітками гіперболи, б) на відрізок АС, в) на відрізок ДВ

11. У прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см вписане коло і навколо трикутника описане коло. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М: а) у більший круг - попаде у менший; б) у більший круг - попаде в трикутник; в) у трикутник - попаде в менший круг.

12. У різносторонній трикутник з довжинами сторін рівними 13 см, 14 см, 15 см вписане коло. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М а) у більший круг - попаде у менший; б) у трикутник - попаде у менший круг; в) у більший круг - попаде в трикутник.

13. У різносторонній трикутник з довжинами двох суміжних сторін рівними 14 см і 18 см і з медіаною, проведеною на невідому сторону рівну 14 см вписане коло і навколо трикутника описане коло. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М: а) у більший круг - попаде у менший круг; б) у більший круг - попаде в трикутник; в) у трикутник - попаде в менший круг.

14. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника поділяє катет на відрізки довжиною (10/З) см і (8/3) см. Навколо цього трикутника описане коло і в нього вписано коло. Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка М а) у більший круг - попаде v менший; б) у більший - попаде в трикутник; в) у трикутник - попаде у менший круг.

15. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а основа - 12 см. У трикутник вписане і описане коло. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М а) у більший круг - попаде у менший; б) у більший круг - попаде в трикутник; в) у трикутник - попаде в менший круг.

16. У прямокутному трикутнику медіана, проведена на гіпотенузу, дорівнює 5 см, а менший катет дорівнює 6 см. У трикутник вписане коло і навколо нього одписане коло. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М: а) у більший круг - попаде у менший; б) у більший круг-попаде в трикутник; в) у трикутник - попаде в менший круг.

17. Менша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 13 см і поділяє трапецію на прямокутний трикутник АДС (ДС - верхня основа трапеції) і різносторонній трикутник АВС(АВ - нижня основа трапеції) в якому АВ=15см, а бічна сторона ВС'= 14см. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М: а) у трапеції - попадає у прямокут­ній трикутник; б) у трапеції - попаде в різносторонній трикутник; в) у трапеції - попаде в круг, обмежений колом вписаним в різносторонній трикутник.

18. Більша діагональ, менша основа і більша бічна сторона прямокутної трапеції відповідно дорівнюють 21 см, 10 см і 17 см. Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка М на площину трапеції попаде на: а) площину різностороннього трикутника; б) на площину прямокутного трикутника; в) на площину круга вписаного в різносторонній трикутник; г) на площину круга вписаного в прямокутний трикутник.

19. Діагоналі паралелограма і менша його сторона відповідно дорівнюють 10 см, 20 см і 9 см. Через вершини паралелограма проведені кола. Знайти ймовірність Того, що навмання поставлена точка М на круг, утворений колом, проведеним через вершини більшої діагоналі попаде: а) на площину паралелограма; б) на круг утворений колом, проведеним через меншу діагональ; в) на круг вписаний в трикутник, утворений меншою діагоналлю і сторонами паралелограма.

20. Сторона ромба дорівнює 10 см. На більшій діагоналі побудоване коло (діагональ є діаметром), а на меншій діагоналі побудовано еліпс (менша діагональ є більшою віссю еліпса). Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка М на круг попаде: а) на площину еліпса; б) на площину ромба; в) на площину кола, вписа­ного в ромб; г) на площину кола вписаного в трикутник, утворений діагоналями ромба і його стороною.

21. Парабола перетинається з прямою, яка проходить через точки А(-4;-5) і В (7,6), в точках С і Д (С - зліва від точки Д). Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на фігуру, обмежену параболою і віссю Ох, попаде: а) на фігуру обмежену параболою і прямою АВ; б) на трикутник обмежений прямою АВ, віссю Ох і ординатою точки Д; в) на фігуру обмежену параболою, ординатою точки Д і віссю Ох.

22. Парабола у²=х+2 і коло x²+у²=4 пepeтинaютьcя в точці M(-2;0) i в двох точкaх i Q, симетричних відносно осі Ох з координатами і . Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка N на круг попаде на: а) фігуру, обмежену вітками параболи і дугою PQ, яка знаходиться справа від хорди PQ, б) фігуру, розміщену між дугою МР і віткою параболи ; в) фігуру, розміщену їж хордою PQ і дугою PQ, яка знаходиться справа від хорди PQ', г) фігуру, обмежену вітками параболи і прямою PQ.

23. Еліпс і два кола перетинаються відповідно в симетричних двох точках які знаходяться на осі Оу і на осі Ох. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка Му великий круг (R=3) попаде: а) в еліпс; б) в малий круг (r=2); в) між великим кругом і еліпсом; г) між еліпсом і малим кругом.

24. Дві параболи: пepeтинaютьcя вдвох точках. Знайти ймовірність того, що навмання позначена точка М на фігуру обмежену параболами попаде на: а) фігуру, обмежену параболою 1) і віссю Ох; б) фігурою, обмежену параболою 2) і віссю Ох, в) Фігуру, обмежену параболою 1) і осями Ох і Оу , г) фігуру, обмежену параболою 2) і осями Ох і Оу (х0).

25. Задано координата точок: 1) А(7;l;3), В(6;3;4),С(5;6;3); 2) (6;2;1), (4;6;3), (5;4;2); 3)(4;3;4), (5;1;3), (3;4;7); 4)(2;1;8), (3;2;1), (1;7;1); 5)(2,1:3), (1;4;2), (1;3;4); 6)(1;2;1), (1;1;3), (0;2;6) Знайти ймовірність того, що навмання поставлена точка в піраміду, утворену координатними і площинами і площиною, яка проходить через точки А, В, С попаде в піраміду, утворену координатними площинами і площиною, яка проходить через точки: 1); 2);3);4);5).