5. Схема Бернуллі. Граничні теореми.

Література : [2] стор. 37-43, 52-60

[4] стор. 49-51 , 53-64

5.1 Знайти ймовірність того, що з n отриманих кредитів будуть повернуті:

а) k кредитів;

б) не менше k кредитів;

в) не більше k кредитів;

г) принаймні один кредит.

Імовірність повернення кредиту дорівнює p (табл. 5.1)

№В	n	K	p
1	4	2	0,9
2	4	3	0,8
3	5	2	0,7
4	6	3	0,6
5	4	2	0,5
6	4	3	0,4
7	5	2	0,3
8	5	3	0,4
9	4	2	0,3
10	4	3	0,2
11	7	3	0,3
12	6	3	0,4
13	5	3	0,5
14	4	3	0,6
15	3	2	0,7
16	4	2	0,8
17	5	2	0,9
18	6	2	0,8
19	7	2	0,7
20	8	2	0,6
21	9	2	0,5
22	10	3	0,4
23	9	3	0,3
24	8	3	0,2
25	7	3	0,1

табл. 5.1

5.2 Знайти ймовірність того, що з n посіяних зерен проросте саме k. Імовірність того, що злак проросте дорівнює p (табл. 5.2)

№В	n	K	p
1	1000	500	0,2
2	1500	500	0,3
3	900	500	0,4
4	950	500	0,5
5	800	500	0,6
6	850	500	0,7
7	800	500	0,8
8	750	500	0,9
9	700	500	0,8
10	600	3	0,01
11	650	300	0,7
12	500	3	0,02
13	450	300	0,6
14	400	2	0,05
15	350	200	0,5
16	1000	3	0,01
17	900	4	0,01
18	800	500	0,3
19	950	500	0,2
20	1000	2	0,04
21	800	500	0,1
22	900	200	0,2
23	950	300	0,3
24	600	400	0,4
25	700	400	0,5

табл. 5.2

5.3.Знайти ймовірність того, що з n малих підприємств регіону призупинять свою діяльність від k1 до k2 підприємств. Імовірність того, що мале підприємство збанкрутує за час t дорівнює p. (табл.5.3)

№В	n			p
1	100	70	80	0,8
2	120	80	90	0,7
3	70	50	60	0,6
4	140	70	80	0,6
5	120	60	70	0,5
6	120	40	70	0,7
7	130	30	50	0,6
8	140	50	70	0,8
9	100	20	100	0,2
10	100	14	26	0,2
11	650	300	400	0,7
12	500	300	400	0,2
13	450	300	400	0,6
14	4000	200	200	0,5
15	350	200	250	0,5
16	1000	300	305	0,1
17	900	400	420	0,1
18	800	500	600	0,3
19	950	500	600	0,2
20	1000	200	420	0,4
21	800	500	600	0,1
22	900	200	250	0,2
23	950	300	350	0,3
24	600	400	500	0,4
25	700	400	500	0,5

табл. 5.3

1. За результатами перевірок податковими інспекціями встановлено, що в середньому кожне друге мале підприємство регіону має порушення фінансової дисципліни. Знайти ймовірність того, що з 1000 зареєстрованих у регіоні підприємства мають порушення фінансової дисципліни а) 480 підприємств; б) найімовірніша кількість підприємств; в) не менше 480; г) від 480 до 520.

2. У страховій компанії10 тис. Клієнтів. Страховий внесок кожного клієнта складає 500 грн. При настанні страхового випадку, ймовірність якого по мающимся даним і оцінкам експертів можна вважати рівною p = 0,005 страхова компанія повинна виплатити клієнту страхову суму розміром 50тис. грн. На який прибуток може розраховувати страхова компанія з надійністю 0,95?

3. У банк відправлено 4000 пакетів грошових знаків. Ймовірність того, що пакет містить недостатню, або залишкову кількість грошових знаків, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що при перевірці буде знайдено: а) три помилково укомплектованих пакета; б) не більше трьох пакетів.

4.Будівельна фірма, що займається установкою літніх котеджів, розкладає рекламні листівки по поштовим скринькам.

Попередній досвід роботи компаній показує, що приблизно в одному випадку з двох тисяч є наслідком замовлення. Знайти ймовірність того, що при розміщенні 100 тис. листків кількість замовлень буде а) рівно 40; б) знаходиться в межах від 45 до 55.

5.Аудиторську роботу з теорії ймовірностей з першого разу успішно виконують 50% студентів. Знайти ймовірність того, що із 400 студентів роботу успішно виконають: а) 180 студентів; б) не менше 180 студентів.

6. При дослідженні установчих фондів в банків встановлено, що п’ята частина банків має установчий фонд більше ніж 100 млн. грн.. Знайти ймовірність того, що серед 1800 банків має установчий фонд більше ніж 100 млн. грн. а) не менше 300; б) від 300 до 400 включно.

7. За результатами перевірки якості заготовленого для посіву насіння гороха встановлено, що в середньому 90% схожості. Скільки треба посіяти насіння, щоб було чекати, що частка насіння, що зайшло відхилиться від ймовірності зійти кожному насінню не більше, ніж на 0,03 (за об салютною величиною)?

8. Імовірність того, що дилер, що торгує цінними паперами продасть їх, дорівнює 0,7. Скільки повинно бути цінних паперів, щоб можливо було стверджувати, із імовірністю 0,996 що частка реалізованих серед них відхилиться від 0,7 не більше, ніж на 0,04 (за абсолютною величиною)?

9. У страховій компанії 10000 клієнтів. Кожен із них, страхуючись від нещасного випадку вносить 500 грн. Імовірність нещасного випадка 0,0055, а страхова сума, що сплачується потерпілому, складає 50000 грн. Яка ймовірність того, що а) страхова компанія потерпить збиток; б) на виплату страхових сум піде більше половини всіх коштів що надійшли від клієнтів.

10. На факультеті навчається 1095 студентів. Ймовірність народження кожного студента в даний день дорівнює 1/365. Знайти: а) найвірогідніше число студентів, що народилися 1 січня; б) ймовірність того, що 1-го січня народилося рівно 3 студенти.

11. У дослідному господарстві висадили 200 саджанців фруктових дерев. Для кожного саджанця ймовірність прижитися в заданій географічній зоні приймається рівною 0,6. Призначити ймовірність того, що приживеться 115 саджанців.

12. 80% кавунів привезених в магазин-спілі. Знайти ймовірність того, що із 100 чоловік, які стоять в черзі за кавунами куплять спілий кавун: а) не менше 75 і не більше 90 покупців; б) не менше 75 покупців; в) не більше 74 покупців.

13. Проростання насіння пшениці складає 90%. Знайти ймовірність того. то серед 2100 посіяних зернин, пшениця зійде: а) не менше 1470 і не більше 1500 зерен, б) не менше 1470 зерен: в) не більше 1469 зерен.

14. У неблагоприємному районі проростання насіння жита складає три четвертих віл кількості посіяних зернин. Знайти ймовірність того, що на дослідній ділянці серед 500 посіяних зернин жита зійде: а) менше 350 зернин, б) рівно 350 зернин: в) не менше 350 зернин і не більше 360 зернин.

15. Відділ технічного контролю перевіряв 900 відеомагнітифонів настандартність. Ймовірність того, що відеомагнітофон вищої якості, дорівнює 0,9. Знайти з ймовірністю 0.9544 межі. в яких знаходиться число т відеомагнітофонів вищої якості, серед перевірених.

16. Магазин отримав партію пляшок шампанського. Ймовірність того. що при транспортуванні пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,08. Скільки слід перевірити пляшок, щоб з ймовірністю 0,9973 можна було стверджувати, що відносна частота появи розбитої пляшки відхилюється від ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж за 0.01.

17. Проводиться дослідження для з'ясування питомої ваги захворюваності па грип серед інших захворювань. Скільки лікарняних листів слід включити в дослідження, щоб відхилення частоти захворюваності на грип від ймовірності 0,5 при одному випробуванні не перевищило число 0.06 з ймовірністю 0,9973.

18. Відділ технічного контролю спільного підприємства перевіряє 475 телевізорів Ймовірність того. що телевізор бракований, дорівнює 0,05. Знайти з ймовірністю 0.95 межі між якими містяться число бракованих телевізорів серед перевірених.

19. Ймовірність проростання картоплі для заданого географічного району дорівнює 90%. Скільки потрібно посадити кущів, щоб з ймовірністю 0,98 можна було очікувати не менше 150 проростань посаджених кущів.

20. У середньому по 15% договорів страхова компанія виплачує страхову суму. Знайти ймовірність того, що :а) з десяти договорів з настанням страхового випадку буде пов’язано не менше двох договорів ;б) з тисячі договорів з настанням страхового випадку буде пов’язано від 100 до 150 договорів.

21. Імовірність малому підприємству бути банкротом за час t дорівнює 0.2. Знайти ймовірність того, що: а) з 8 малих підприємств за час t залишиться працювати не більше двох; б) найімовірніше це число малих підприємств, із 1000, що залишається працювати за час t, і ймовірність цієї події.

22. Вважається, що 10% відкрившихся нових малих підприємств поліського регіону припиняють свою діяльність протягом року. Яка ймовірність того, що: а) з 6 малих підприємств не більше 2-х протягом року припиняють свою діяльність; б) з 200 малих підприємств діяльність припинять від 40 до 100.

23. Підручник видано тиражем 10000 екземплярів. Ймовірність, того, що екземпляр підручника зібраний неправильно, дорівнює 0.0001. Знайти ймовірність того, що а) тираж містить 5 бракованих книжок; б) принаймні 9998 книг зібрані правильно.

24. Комплекс по виробництву консервів складається з 100 незалежно працюючих агрегатів. Ймовірність відмови агрегату в момент запуску комплексу дорівнює 0.2. Знайти: а) Найімовірогідніше число відмовлених агрегатів; в) Ймовірність відмови хоч би 40 агрегатів (умова відмови комплексу).

25. Для кожного абонента ймовірність подзвонити протягом 1 години дорівнює 0.09. Телефонна станція обслуговує 1000 абонентів . Знати ймовірність того, що протягом 1 години подзвонять: а) 4 абоненти; б) не більше 4 абонентів.