8. Закони розподілу і числові характеристики випадкових величин.

Випадковою величиною називається змінна величина, що у результаті досліду може прийняти те чи інше значення: невідомо заздалегідь, яке саме.

Випадкові величини позначають великими буквами латинського алфавіту, а їхні можливі значення – відповідними малими буквами.

Означення. Випадкова величина X називається дискретною, якщо множина її значень або скінчена, або зчислена.

Означення. Випадкова величина X називається неперервною, якщо її значення знаходяться у скінченому або нескінченому проміжку числової осі .

Сукупність значень і відповідних ймовірностей називається законом розподілу дискретної випадкової величини.

Означення. Нехай X – випадкова величина і x – довільне дійсне число. Імовірність того, що X прийме значення, що менше ніж X, називається функцією розподілу випадкової величини X :

F(x)=P(X<x).

Функція розподілу має наступні властивості:

1.

2.

3. F(x) – не спадна функція на всій числовій осі.

4. .

Означення. Для неперервної випадкової величини існує така невід’ємна функція f(x), щільність розподілу ймовірностей, яка при всіх

<

Щільність розподілу ймовірностей має наступні властивості:

1. <x<.

2.

3. у точках неперервності функції f(x).

4. .

9. Числові характеристики випадкових величин.

Означення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається число

Якщо випадкова величина приймає зчислену множину значень, то потрібна абсолютна збіжність ряду.

Означення. Математичним сподіванням неперервної випадкової величини X називається число

якщо інтеграл абсолютно сходиться.

Означення. Дисперсією випадкової величини X називається невід’ємне число D(x), обумовлене в такий спосіб

Дисперсію зручно обчислювати по формулі

Для неперервної випадкової величини дисперсія

або

10. Основні закони розподілу.

Приклади дискретних законів розподілу:

1. Біноміальний розподіл

   0<p<1, k=0,1,…,n

2. Розподіл Пуассона

λ>0, k=0,1,…

Приклади неперервних розподілів:

1. Рівномірний розподіл

x -ab

2. Експоненціальний розподіл

f(x)=

3. Нормальний розподіл

, a, 0

, де .

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення X-a менше додатнього числа , P(x-a)=2Ф().

Питання до заліку

1. Основні комбінаторні формули.

2. Види подій і операції над ними.

3. Статистичне і класичне означення ймовірності.

4. Означення суми подій. Теореми додавання ймовірностей несумісних і сумісних подій.

5. Означення добутку подій. Які події називаються незалежними.

6. Означення умовної ймовірності. Теореми множення ймовірностей залежних і незалежних подій.

7. Формула повної ймовірності.

8. Формула Байєса.

9. Формула Бернуллі.

10. Сформулюйте локальну теорему Муавра-Лапласа і теорему Пуассона. Коли застосовуються ці теореми?

11. Сформулюйте інтегральну теорему Муавра-Лапласа. У чому полягає розходження між локальною й інтегральною теоремами Муавра-Лапласа?

12. Означення випадкової величини. Наведіть приклади.

13. Означення функції розподілу випадкової величини, її властивості.

14. Означення щільності розподілу ймовірностей, її властивості.

15. Як знайти функцію розподілу за відомою щільністю розподілу ймовірностей?

16. Як знайти ймовірність улучення випадкової величини в заданий інтервал?

17. Означення моди, медіани випадкової величини.

18. Означення асиметрії, ексцесу.

19. Означення початкового і центрального моментів k-го порядку.

20. Біноміальний, рівномірний гіпергеометричний, геометричний розподіли.

21. Напишіть диференціальну функцію нормального розподілу. Якими параметрами визначається нормальний розподіл?

22. Чи впливає зміна математичного сподівання на форму нормальної кривої? Як впливає зміна середнього квадратичного відхилення на форму нормальної кривої?

23. Як знайти ймовірність улучення випадкової величини в заданий інтервал, якщо вона розподілена за нормальним законом?