Динамика материальной точки

1. Основной закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона)

,

где а – ускорение тела;  - силы, действующие на тело;  - равнодействующая сил, приложенных к телу; m – масса тела.

Т.к. второй закон Ньютона записан в векторном виде, то использовать его для расчетов можно только после проектирования сил и ускорения на оси ОX и ОY:

.

2. Некоторые силы в механике:

− сила тяжести F_т действует со стороны Земли на все тела, находящиеся вблизи ее поверхности. Сила направлена вертикально вниз (к центру Земли) и равна

,

где  м/с² – ускорение свободного падения.

− сила упругости F_упр возникает в упругих телах (например, в пружине) при их деформации. По абсолютной величине эта сила в довольно широких пределах прямо пропорциональна деформации l:

F_упр = kl,

где k – коэффициент жесткости пружины; сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации.

− реакция опоры N действует на тело, соприкасающееся (но не связанное) с опорой. Она всегда направлена от опоры перпендикулярно ее поверхности;

− сила натяжения F_н  всегда направлена от тела вдоль связи;

− сила трения скольжения F_тр возникает при контакте поверхностей двух твердых тел; направлена в сторону, противоположную движению тела, и по величине прямо пропорциональна силе, с которой тело прижато к поверхности, по которой оно скользит; и если нет дополнительных сил, прижимающих первое тело к поверхности второго, силе нормальной реакции опоры:

F_тр = N,

где  – коэффициент трения, учитывающий свойства трущихся друг о друга поверхностей;

− выталкивающая (архимедова) сила F_А действует на тело, погруженное в жидкость, и направлена вверх

где _ж – плотность жидкости; V_погр – объем погруженной части тела;

− сила тяги F_тяги возникает при включении двигателя и направлении по направлению движения тела;

− вес тела P - сила, с которой оно давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. Из третьего закона Ньютона следует, что эта сила равна по величине соответственно либо нормальной реакции опоры (P = N), либо силе натяжения подвеса (P = F_н).

3. Импульсом тела называется векторная величина, равная произведению его массы m на скорость :

.

4. Закон сохранения импульса: если система замкнута, т.е. на нее не действуют внешние тела или их воздействие уравновешено, то суммарный импульс тел, составляющих систему, есть величина постоянная.

Применительно к взаимодействию двух тел массами m₁ и m₂ этот закон имеет вид:

,

где v₁ и v₂ – скорости тел до взаимодействия; u₁ и u₂ – скорости после взаимодействия. Т.к. закон записан для векторных величин, то при расчетах следует учитывать направления скоростей.

5. Работа А силы F при движении тела вдоль оси ОХ из точки с координатой х₁ в точку с координатой х₂

,

где F_х – проекция силы на ось ОХ.

Если сила при движении тела остается постоянной, то работа

,

где S – пройденный телом путь, α – угол между силой и направлением перемещения.

6. Мощность, развиваемая телом

,

где v – скорость тела.

7. Энергия - величина, характеризующая способность тела совершать работу. Различают два вида механической энергии: кинетическую W_К и потенциальную W_П.

− кинетическая энергия (энергия движения) материальной точки массой m, имеющей скорость v, равна

;

− потенциальная энергия тела, находящегося в поле силы тяжести, на высоте h  над выбранным уровнем отсчета

;

− потенциальная энергия тела, находящегося в поле силы упругости пружины жесткостью k при деформации l

.

8. Полная механическая энергия системы

.

9. Закон сохранения энергии

− если на систему тел действуют неконсервативные силы: трения F_тр, сопротивления F_сопр или тяги F_тяги, то

,

где где A_неконс  – работа неконсервативных сил.

− если на систему не действуют силы трения и сопротивления, то ее полная механическая энергия сохраняется:

.

10. При взаимодействии тел в системе возможны:

− абсолютно упругое столкновение, при котором выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии (потенциальная энергия не меняется)

,

.

Скорости тел после такого удара могут быть найдены как

; .

− абсолютно неупругое столкновение, при котором после взаимодействия тела сцепляются и двигаются вместе с одинаковой скоростью u, а часть полной механической энергии переходит в тепло Q

.

.

Скорости тел после такого удара рассчитываются с помощью формулы:

.

Вращательное движение твердого тела

1. Угол поворота  , измеряемый в радианах, связан с числом полных оборотов N соотношением

.

2. Угловая скорость характеризует быстроту вращения и равно производной от угла по времени

.

Вектор направлен вдоль оси вращения и связан с направлением вращения правилом «буравчика».

3. Угловая скорость связана с линейной скоростью вращающейся точки v соотношением

v =  r,

где r – расстояние от оси вращения до заданной точки тела.

4. Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости и равно производной от угловой скорости по времени

.

5. Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением вращающейся точки а_τ соотношением

.

6. Нормальное ускорение вращающейся точки а_n связано с угловой скоростью ω

.

7. Момент силы F, действующий на тело

.

По абсолютной величине момент равен

,

где r – радиус, проведенный от оси вращения в точку приложения силы, α  – угол между направлениями радиуса и вектора силы.

8. Основной закон динамики вращательного движения

,

где - результирующий момент сил, действующих на тело, J – момент инерции тела.

9. Момент инерции тела J характеризует инерционные свойства тела, имеющего ось вращения, и зависит от размеров и формы тела, его массы и распределения массы относительно оси вращения.

Момент инерции системы N материальных точек равен

,

где r_i – модуль радиуса-вектора i-й материальной точки, имеющей массу m_i . Для сплошных тел момент инерции определяется как интеграл

,

где  – плотность тела; V – его объем.

Формулы для нахождения моментов инерции некоторых тел правильной геометрической формы приведены в табл.

Форма тела	Положение оси вращения	Момент инерции J
Материальная точка массой m	Проходит на расстоянии R от точки	mR2
Однородный стержень длиной l и массой m	Проходит через середину стержня перпендикулярно его оси
Однородный стержень длиной l и массой m	Проходит через один из концов данного стержня перпендикулярно его оси
Однородный диск (сплошной цилиндр) радиусом R и массой m	Совпадает с осью цилиндра
Однородный тонкостенный полый цилиндр (труба, обруч) радиусом R и массой m	Совпадает с осью цилиндра
Однородный шар радиусом R и массой m	Проходит через центр шара

10. Работа A момента сил при вращательном движении определяется соотношением

Если момент сил не изменяется во времени , то

,

где Δφ – угол поворота.

11. Мощность при вращательном движении

.

12. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна

.

13. Моментом импульса вращающегося твердого тела называется векторная величина L, равная произведению момента инерции тела относительно оси вращения на его угловую скорость

14. Для замкнутой вращающейся системы справедлив закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса системы есть величина постоянная

.

Аналогия между величинами и уравнениями, описывающими поступательное и вращательное движения
Поступательное движение	Вращательное движение
m - масса	Jz – момент инерции относительно оси вращения z
– сила	– момент силы относительно оси z
S - путь	- угловой путь (угол поворота)
– линейная скорость	– угловая скорость
;	;
– линейное ускорение	–угловое ускорение
; ;	; ;
– импульс	–момент импульса
;	;

Пример

Шар массой m = 5 кг и радиусом r = 15 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение его вращения имеет вид . Найти результирующий момент сил в момент времени t = 2 с.

Решение:

Согласно основному закону динамики для вращательного движения результирующий момент сил .

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр  кг·м².

Угловое ускорение – производная от угловой скорости по времени, а угловая скорость – производная от ускорения по времени. Тогда

и .

В момент времени t = 2 с угловое ускорение  с^-1.

Результирующий момент  Н·м.

Результирующий момент сил получился отрицательным. Это говорит о том, что под действием такого момента сил тело замедляет вращение.

Колебания и волны

1. Процесс, при котором зависимость какой-либо характеристики системы (например, координаты точки) от времени описывается гармоническими функциями (синус или косинус), называется гармоническими колебаниями. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

,

где х(t) – смещение точки от положения равновесия в момент времени t; А – амплитуда, т.е. модуль максимального смещения; ( t + ₀) – фаза колебаний;  – циклическая частота; ₀ – начальная фаза.

2. Время, в течение которого система совершает одно полное колебание, называется периодом Т. Он однозначно связан с циклической частотой соотношением

.

3. Частота колебаний ν – это количество колебаний, совершаемое за единицу времени, т.е. величина, обратная периоду

.

4. Циклическая частота  зависит от внутренних свойств колеблющейся системы

− для тела на пружине , где k – жесткость пружины, m – масса груза;

− для математического маятника , где l – длина нити маятника, g – ускорение свободного падения.

5. Проекция скорости колеблющейся точки v_х определяется как производная от координаты по времени

,

где - максимальная скорость колеблющегося тела.

6. Проекция ускорения колеблющейся точки а_х определяется как производная от проекции скорости по времени

,

где  - максимальное ускорение колеблющегося тела.

7. Потенциальная энергия материальной точки массой m, совершающей незатухающие гармонические колебания на пружине жесткостью k, равна

,

8. Кинетическая энергия

.

9. Полная механическая энергия

.

Таким образом, при незатухающих колебаниях полная механическая энергия системы сохраняет постоянное значение.

Пример.

Тело массой m = 2 кг совершает гармонические колебания по закону , мм. Найти амплитуду колебаний, их период, частоту, начальную фазу. Определить максимальные скорость и ускорение. Найти полную энергию тела.

Решение:

Запишем уравнение колебаний через функцию косинуса , мм и сравним его с уравнением гармонических колебаний в общем виде . В результате сравнения получаем амплитуду А = 5 мм; циклическая частота  рад/с; начальная фаза  рад.

Зная циклическую частоту ω, найдем период и частоту колебаний  с;  Гц.

Максимальная скорость колеблющегося тела  мм/с; максимальное ускорение колеблющегося тела  мм/с².

Полная энергия тела .