Рассмотрим наиболее общие законы цепей переменного тока

1. Если к концам проводника с сопротивлением R (рис.1) приложено переменное напряжение, величина которого во времени определяется уравнением

(1)

(где - амплитудное значение напряжения, - круговая частота, равная =, - частота тока), то в цепи пойдёт ток, величина которого определяется согласно закону Ома уравнением:

, (2)

где - активное сопротивление, - амплитудное значение тока.

Из уравнений (1) и (2) видно, что ток и напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе.

2. Рассмотрим цепь переменного тока с индуктивностью L (рис.2) без омического сопротивления (R=0). Тогда в цепи пойдёт ток:

. (3)

Под действием этого тока в катушке индуктивности возникает э.д.с. самоиндукции:

. (4)

Для замкнутой цепи, согласно второму правилу Кирхгофа (в замкнутом контуре алгебраически сумма электродвижущих сил равна алгебраической сумме падений напряжений) можно написать:

Тогда:

Вычисляя из уравнения (3) и подставляя это значение для нахождения U имеем:

, но следовательно:

(5)

Сравнивая уравнения (3) и (5) видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол .

Величину индуктивного сопротивления можно определить из уравнения (5) при амплитудном значении напряжения, т.е. при

, получим , (6)

где амплитудные значения напряжения и тока. Поделив обе части уравнения (6) на получим , но - индуктивное сопротивление. Тогда , т.е. величина индуктивного сопротивления прямо пропорциональна от индуктивности катушки и частоте переменного тока.

3. Рассмотрим цепь переменного тока с конденсатором ёмкостью C (рис.3). Активная нагрузка в цепи отсутствует 0. Приложим к зажимам конденсатора напряжение:

. (8)

Обкладки конденсора получают заряд, изменяющийся пропорционально напряжению:

. (9)

В цепи конденсатора пойдёт ток, величина которого равна скорости изменения заряда конденсатора или пропорциональна скорости изменения напряжения на его зажимах.

. (10)

Получим закон изменения тока в конденсаторе. Для этого найдем из уравнения (8):

(11)

Подставляя в уравнение (10) значение из уравнения (11), получим:

. (12)

Сравнивая уравнения (12) и (8) видим, что ток опережает напряжение на конденсаторе на угол .

Найдем величину ёмкостного сопротивления из уравнения (12). При амплитудном значении тока, когда будем иметь:

. (13)

Так как , то, поделив уравнения (13) на , получим выражение для величины ёмкостного сопротивления:

. (14)

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Подключение в цепь переменного тока регистра сопротивления «R» (рис. 1), индуктивности «L» (рис.2) и конденсатора

электроемкостью «С» (рис. 3)

т.е. ёмкостное сопротивление обратно пропорционально ёмкости конденсатора и частоте переменного тока.

4. Реальные цепи переменного тока содержат все три компонента: R, L и C. Рассмотрим такую цепь при последовательном соединении (рис. 4). Напряжение вызывает ток , где - сдвиг фаз между током и напряжением, причем + в том случае, когда >X_C, а - в том случае, когда X_L<X_C.

Рис. 4

Последовательно соединенные R, L и C подключены

к переменному напряжению.

Для определения угла сдвига фаз удобно пользоваться векторной диаграммой, в которой за основу берётся вектор тока (один и тот же ток в R, L и C).

Для построения векторной диаграммы отложим по горизонтальной оси вектор тока, равный по величине амплитудному значению I₀ (рис. 5). Тогда мгновенное значение силы тока будет равно проекции этого вектора, вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью , на ось ординат, а фаза тока в любой момент времени t будет равна углу поворота этого же вектора, отсчитываемого против хода часовой стрелки от оси абсцисс. Подобным же образом изображают и переменное напряжение.

Так как на активном сопротивлении вектор тока совпадает с вектором напряжении по фазе, то отложится по той же оси, что и ток . На индуктивности напряжение опережает ток по фазе на , поэтому оно отложится на диаграмме вертикально вверх. На конденсаторе напряжение отстает по фазе от тока на угол , поэтому откладывает на данной диаграмме вертикально вниз.

Для нахождения результирующего вектора напряжения векторно (геометрически) складывают вектора . Так как и направлены вдоль одной прямой, то результат их сложения даст вектор направленный в сторону большого по модулю вектора. Затем вектор складываем по правилу параллелограмма с вектором и получаем результирующий вектор . Из прямоугольного треугольника 0АВ по теореме Пифагора имеем:

, (15)

где: , (16)

, (17)

. (18)

Рис. 5

Векторная диаграмма тока и напряжений , , и при последовательном соединении R, L и C и при U_L>U_C (X_L>X_C).

Подставляя эти (16, 17 и 18) значения , , в уравнение (15), получаем: , откуда

. (19)

Известно, что многие приборы измеряют эффективные значения тока и напряжения и . Они связаны для их гармонических колебаний с максимальными значениями как: , . Заменяя в формуле (19) максимальные значения и эффективными получим:

. (20)

Каждое из соотношений (19) и (20) выражает обобщенный закон Ома для цепи переменного тока при последовательном соединении R, L и C, где

(21)

называют импедансом цепи.

Угол сдвига фаз между током и напряжением определяем из треугольника ОАВ:

. (22)