4.1. Уравнения изопроцессов

Изопроцессами называются такие процессы, в которых какое-либо условие или параметр поддерживаются постоянными.

К характерным изопроцессам относятся следующие:

1. Изотермический. Это обратимый процесс, проходящий при постоянной температуре (газ в термостате): Т=const=Т₀. Для него уравнение состояния идеального газа принимает вид:

pV=νRT₀=const. (1)

Это уравнение изотермы. Его график – это симметричная гипербола (рис. 1). Для любых двух точек на изотерме p₁V₁=p₂V₂.

2. Изохорный процесс. Это обратимый процесс, протекающий при постоянном объёме, т.е. в баллоне с жёсткими стенками: V=const=V₀. Для него уравнение состояния pV=νRT примет вид:

.

Это уравнение изохоры. На изохоре (рис. 2).

3. Изобарный процесс. Это обратимый процесс, протекающий при постоянном давлении р=р₀=const. Для него уравнение состояния pV=νRT примет вид:

.

Это уравнение изобары. На изобаре (рис. 3).

4. Адиабатный процесс. Это обратимый процесс в газе, протекающий без теплообмена с окружающей средой, т.е. при котором Q=0. Адиабатный процесс может быть проведён в цилиндре с теплонепроницаемыми стенками, если поршень медленно поднимать или опускать (рис. 4). При этом энергообмен с окружающей средой происходит только в форме механической работы.

Получим уравнение адиабатного процесса аналогично трём первым. Для этого запишем первый закон термодинамики:

dQ=pdV+νC_VdT.

Так как у нас dQ=0, то

νC_VdT=−pdV.

Подставляя сюда р=νRT/V из уравнения состояния, получим

C_VdT=−, или .

Интегрируя, получаем:

, или =const, или .

А так как R=C_p−C_V, то, обозначая

С_р/С_V=γ,

получаем:

TV^γ−1=const. (2)

Это и есть уравнение адиабаты в координатах (V,Т).

Замечание. Величина γ=С_р/С_V называется показателем адиабаты.

Получим уравнение адиабаты в координатах (р,V). Для этого подставим в (2) из уравнения состояния. Это даёт: const, или

pV^γ=соnst. (3)

И, наконец, получим уравнение адиабаты в координатах (р,Т). Для этого подставим в (2) из уравнения состояния. Это даёт:

, или Т^γ р^1−γ=const, или

. (4)

Замечание 1. Уравнение адиабаты (3) похоже на уравнение изотермы (1), только график р(V) у адиабаты идёт круче, так как γ=С_р/С_V>1 (рис. 5).

Замечание 2. Так как С_V=, С_р=С_V+R=, то

.

Для 1-атомных газов (i=3) γ=5/3,

для 2-атомных газов (i=5) γ=7/5=1,4,

для многоатомных газов (i=6) γ=4/3.

4.2. Теплоёмкости идеального газа при изопроцессах

Вычислим молярную теплоёмкость идеального газа при различных изопроцессах в соответствии с её определением

С=.

1. Изотермический процесс:

∞.

Здесь всё сообщённое газу тепло Q идёт на совершение работы:

dQ=pdV+νC_VdT|_T=const=pdV=dA.

2. Изохорный процесс:

.

Здесь тепло идёт только на нагрев газа: dQ=νC_VdT=dU.

3. Изобарный процесс:

.

Здесь тепло идёт и на нагрев, и на совершение газом работы: dQ=dU+pdV.

4. Адиабатный процесс:

.