3. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

Теперь изменим, условие проведения предыдущего опыта, вынув первый шар из урны, не будем класть его обратно, а положим на полку, а затем вынем второй шар. Какая вероятность того, что оба вынутых из урны шара окажутся красными. В этом опыте по схеме ”невозвращенного шара” события между собой связаны, и наступление одного события изменяет вероятность наступления второго события. Здесь удобно ввести понятие условной вероятности. Условной вероятностью события (E) называют вероятность, вычисленную с предположением, что произошло событие (D) и эту вероятность обозначают как P(E/D). В этом случае вероятность сложного события, представленного двумя событиями, следующими друг за другом, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную с предположением, что первое событие произошло.

P(E, D) = P(E)*P(D/E)

Вероятность появления первого красного шара равна 6/10, однако вероятность появления второго красного шара равна уже 5/9, так как мы не вернули красный шар в урну, изменилось общее количество шаров в урне и так же изменилось количество красных шаров. Вероятность сложного события – появление при последовательном вынимании двух шаров красного цвета равна

P (Красный шар и Красный шар) = P (E)*P (D/E) = 0.6*0.56 = 0.34

Теорему, отражающую связь между условными и безусловными вероятностями открыл в 18 веке английский священник Байес. Полностью теорема Байеса утверждает, что произведение вероятности первого события на условную вероятность второго события, вычисленную с предположением, что первое событие произошло, равна произведению вероятности второго события на условную вероятность первого события, вычисленную с предположением, что второе событие уже произошло, то есть

P (E)*P (D/E) = P (D)*P (E/D)

Это выражение можно переписать в виде

P (D/E) = [P (D)*P (E/D)]/ P (E)

4. Теорема полной вероятности.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.

Ниже приведены результаты опробования горизонтальной выработки (канавы), разделенной на три равных участка.

N пробы	Содержание (%)		N пробы	Содержание (%)		N пробы	Содержание (%)
Участок 1			Участок 2			Участок 3
1	8		1	6		1	4
2	4		2	1		2	7
3	3		3	4		3	4
4	8		4	6		4	7
5	4		5	4		5	4
6	3		6	1		6	4
7	8		7	1		7	7

Теперь мы можем переделать эту таблицу как частотную таблицу, в которой рассчитана частота появления пробы с определенным содержанием.

Участок канавы	Содержание металла (%)	Число проб	Частость
Участок канавы N1 (К1)	8	3	0.428
	4	2	0.286
	3	2	0.286
Сумма		7	1
Участок канавы N2 (К2)	6	2	0.285
	4	2	0.285
	1	3	0.430
Сумма		7	1
Участок N3 (К3)	7	3	0.428
	4	4	0.572
Сумма		7	1

На одном из участков берут пробу, причем участок и место, где берут пробу, выбирают случайно. Случайный отбор может происходить с использованием разных способов, один из них можно назвать способом урны. Сначала скатывают в трубочки листки бумаги с написанными на них номерами канав, кладут в урну, перемешивают и затем выбирают, далее тем же образом приготавливают 7 листков бумаги с предварительно написанными на них содержаниями металла и выбирают из урны один листок.

Вопрос. Какая вероятность появления пробы с содержанием 4%?

Появление события B (то есть появление пробы с содержанием 4%) может произойти только вместе с одним из событий К1, К2, К3 - то есть, появление события В может произойти только в одном из трех участков нашей канавы. События К1, К2, К3 образуют полную группу несовместных событий (событий, которые не могут появиться одновременно в данном опыте), но то что одно из этих событий произойдет в данном опыте равно 100% . Назовем эти события – гипотезами.

Вероятность события В определяется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе по следующей формуле

P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)

Это формула полной вероятности. Событие B может появиться только в комбинации с одной из гипотез К1, К2, К3, образующих полную группу несовместных событий. Комбинации К1В, К2В, К3В так же несовместны, так как несовместны гипотезы К1, К2, К3. Применяя к данным комбинациям (гипотезы-события) теорему сложения получим

P(B) = P(B/K1) + P(B/K2) + P(B/K3) = ∑P(B/Ki)

Далее применим теорему умножения и получим

P(Ki, B) = P(Ki)*P(B/Ki)

Поэтому

P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)

По условию задачи гипотезы К1, К2, К3 - равновозможные, следовательно

P(K1) = P(K2) = P(K3) = 0.33

Следовательно легко можно рассчитать, что вероятность появления события В ( то есть вероятность появления пробы с содержанием 4 %) равна

P(B) = P(4%) = 0.33*0.285 + 0.33*0.285 + 0.33*0.572 = 0.38

Таким образом, наугад взятая в канаве проба с вероятность 38% покажет содержание металла равное 4 % .

Такая же вероятность получится, если мы рассчитаем ее по простой формуле, однако, если гипотезы не равны друг другу, то есть например, длина участков будет разная, а количество проб то же, то по простой формуле вероятности мы уже не получим этот же результат.

Лекция 3

Вероятность обнаружения геометрических тел.

Обычно геологи пытаются открыть рудные залежи, занимающие всегда некоторое пространство в земной коре. Очень часто находки таких залежей, особенно если они большие по размерам и залегают близко к земной поверхности, делаются случайно и даже не редко специалистами других профессий, однако такие открытия становятся все реже и реже и геологи применяют систематические процедуры поисковых работ.

Рудные залежи, которые являются источником сильных геофизических полей, например гравитационных, магнитных, электрических, или которые являются источником для геохимических аномалий – ищут вдоль равномерно расположенных профилей, если поиски ведутся на земле, если в воздухе, то вдоль трасс полета и если в космосе, то по параллельным орбитам.

Вероятность обнаружения месторождения при измерениях вдоль множества параллельных линий может быть определена из геометрических соображений. Обычно вероятность открытия связана с размером месторождения и размерами пространственной схемы, вдоль которой проводятся измерения. Если предположить, что месторождение имеет эллиптическую форму, а поиски ведутся по параллельным профилям, то можно вычислить вероятность того, что один из профилей пересечет залежь заданного размера. Предположим, что рудную залежь, которую нужно найти имеет эллиптическую форму и полуоси эллипса равны A и B, если рудная залежь по форме является кругом, то в этом случае A = B = R (R – радиус круга). Схема поисков состоит в некоторых измерениях, сделанных через равное расстояние, вдоль параллельных профилей, расположенных друг от друга на расстоянии D. Вероятность того, что рудная залежь, размеры которой меньше, чем расстояние между профилями, будет пересечена некоторым профилем, равна

P = p/πD,

где p – периметр эллиптической залежи.

Периметр эллипса вычисляется по формуле

p = 2π(A²+B²)/2

где А и В – полуоси эллипса. Подставляя значения - p- в формулу получим

P = (2π/ πD)*(A²+B²)/2 = 2/D*(A²+B²)/2

Введем величину Q – диаметр.

Диаметр для эллипса равен

Q = 2*(A²+B²)/2

а для круга

Q = 2R.

Тогда вероятность того, что эллиптическая залежь будет пересечена одним из параллельных профилей, рассчитывается как

P = Q/D

В частном случае для круга

P = 2R/D.

В другом случае одна из осей может быть очень короткой, и рудная залежь становится похожей на случайно ориентированную линию. Рассчитать вероятность в этом случае можно, используя формулу

P = 2L/ πD,

где L – длина залежи.

Для решения этой задачи используется подход, примененный для решения задачи Бюффона, которая состоит в вычислении вероятности того, что игла длиной L, брошенная на множество параллельных линий, расположенных на расстоянии D одна от другой, пересечет хотя бы одну из этих прямых. Аналогичная задача, известная как проблема Лапласа используется при систематических поисках. Задача состоит в нахождении вероятности того, что игла длиной L , брошенная на поле, покрытое сетью прямоугольников, попадает целиком в один из них. Один из вариантов этой задачи – вычисление вероятности того, что монета, брошенная на шахматную доску, попадет целиком в один из квадратов. При систематических поисках важно рассчитать вероятность того, что случайно для нас расположенная рудная залежь будет пересечена один раз или большее количество раз множеством профилей, представляющих собой прямоугольную сеть, вдоль которых производятся измерения.

Общее уравнение имеет вид

P = Q*(D1+D2-Q)/D1*D2

где D1 и D2 расстояние между параллельными линиями и их перпендикулярами.

В случае квадратной сети равенство упрощается

P = (Q/D)*(2-Q/D)

Известно, что приведенные здесь уравнения для расчета геометрической вероятности являются приближенными и если сравнить точные вероятности, вычисленные с помощью интегрирования и по этим формулам, то можно сделать вывод, что наиболее сильно результаты отличаются для очень удлиненных рудных залежей, размеры которых больше чем расстояние между профилями. Кроме этого приближенные уравнения завышают вероятность обнаружения геометрических тел.

В своем труде Дж. С. Дэвис приводит графики Мак-Кеммона, на которых очень удобно определять вероятность обнаружения залежей в зависимости от их размеров, формы и расстояниями между профилями. Один из них целесообразно привести в этих лекциях.

Рис. . Вероятность расположения объекта с помощью схемы поиска параллельными линиями. (Эллиптические объекты попадают в заштрихованную область).

Знакомство с распределением случайных величин.

При проведении геологоразведочных работ геологи могут брать пробы с разным содержанием полезных компонентов, и такие события будут для них случайными. Случайные величины полезных компонентов могут быть прерывистыми или дискретными и непрерывными. Дискретными случайными величинами могут быть шары в урне, а непрерывными случайными величинами могут быть содержания полезных компонентов в рудном теле и любые величины, полученные в результате изучения природных объектов. Природные объекты очень изменчивы, но так же и приборы, созданные для измерений несовершенны и показывают изменчивые результаты, при измерении того же самого объекта. В земной коре нельзя взять вторую пробу из того же места идентичную первой, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, два человека не могут придти к одинаковому мнению относительно расстояния от точки А до точки В и так далее. Мы будем случайные величины обозначать индексами (X, Y, например Au, Ag и т.д.), а их возможные значения – x₁, x₂, x₃…x_n, или цифрами. Возьмем случайную дискретную величину X с возможными значениями x₁, x₂, x₃….x_n. Дискретная величина X может принимать эти значения с некоторой долей вероятности, соответственно P₁, P₂, P₃ ….P_n. События x₁, x₂,x₃….x_n – несовместны и образуют полную группу событий, то есть два события не могут произойти одновременно и какое либо из этих событий обязательно произойдет, поэтому ∑Pi = 1, но эта суммарная вероятность каким то образом распределена между этими событиями.

Законом распределения случайной величины и называют соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Простейшей иллюстрацией какого-либо распределения может являться таблица с возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Обозначим шары в урне номерами 0, 1, 2, 3, 4 и будем вытаскивать, и класть шары обратно 100 раз. В результате этого опыта мы случайно можем получить следующую частотную таблицу

N шаров	Число наблюдений, в которых происходило данное событие (mi)	Частость (mi/n) pi
0	16	0.16
1	56	0.56
2	24	0.24
3	3	0.03
4	1	0.01
	n = 100	∑ = 1

Что бы изобразить это графически по горизонтальной оси откладывают отрезки пропорциональные значениям, а по вертикальной оси откладывают отрезки пропорциональные частостям - p_i. Графическое изображение строят или в виде полигональной кривой или гистограммы.

Полигональные кривые используются в большей мере при изображении распределений дискретных величин. Для построения полигональной кривой по оси абсцисс откладывают ранжированные значения признака, а по оси ординат наносится шкала частот. Полученные точки графика соединяют прямыми линиями, в результате чего и получают полигональную кривую. При построении гистограммы для дискретных чисел приращения по оси абсцисс делят пополам и вместо кривой выстраивают прямоугольники, в которых центральная линия, делящая прямоугольники пополам указывает на значение случайной величины, по ординате (высота прямоугольника) выставляется – количество встреч этого значения в выборке или в совокупности.

При построении таблицы и графика (полигональной кривой или гистограммы) для непрерывной случайной величины ее значения делят на ряд равных или не равных по величине интервалов (классов или групп), которые откладывают по оси абсцисс, а по оси ординат откладывают количество величин, попавших в конкретный интервал. Величины, попавшие в выборку или совокупность, часто объединяются в группы с какой либо целью, так на рудных месторождениях полезные компоненты часто разделяются на бедные, богатые, наиболее богатые, сверхбогатые (например, самородки золота) или по технологическим признакам, например легкообогатимые, обогатимые и труднообогатимые.

Такие ряды распределения называют атрибутивными, то есть построенными по качественным признакам. В таких случаях нередко значения признака группируют не на равные интервалы. Если группировка построена просто по количественному признаку, то она называется вариационной, любой вариационный ряд состоит из вариантов и частот. Вариантами называют отдельные значения признака, частоты – это количество вариантов или значений признака в каждой группе ряда. Частостями называют частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу частот. Для сравнения частот вводится понятие плотности распределения – это частота, рассчитанная на ширину интервала.

От группировок следует различать классификации. Отличительной чертой классификаций является то, что группирование в них происходит на основании систематизации признаков. Классификации утверждаются и признаются международными или государственными организациями. Например, к классификациям можно отнести классификацию промышленных типов месторождений металлических полезных ископаемых, классификацию углей, классификацию нефтепродуктов, классификации окаменелых органических остатков и так далее.

Часто количество интервалов в выборке или совокупности определяют просто по формуле Стерджесса

n = 1 + 3.322 * LgN

где n - число групп, а N - количество значений в выборке. После определения числа групп в выборке можно определить интервалы группировки. Каждый интервал имеет нижнюю и верхнюю границу, и величина интервала определяется как разность между верхней и нижней границей. Часто группируют выборку на равные интервалы.

Для графического изображения вариационных рядов часто используют кумулятивную гистограмму. При помощи кумулятивной кривой (или кумуляты) отображается ряд накопленных частот, которые рассчитываются путем последовательного суммирования частот по группам. При построении такой кривой по оси абсцисс откладывают значения переменной в виде интервалов, а по оси ординат последовательно накопляемые частоты в виде перпендикулярных столбиков по отношению к оси абсцисс, затем верхние средние точки столбиков соединяют и получают ломаную линию, это и есть кумулятивная кривая.

Если при графическом изображении такой гистограммы оси поменять местами, то мы получим кривую, которую называют – огива.

С помощью кумулятивной прямой и огивы могут изображаться процессы накопления, например, накопления прибыли при эксплуатации месторождения за период его жизнедеятельности или накопления отвалов пустых пород, вынимаемых для того, что бы начать отрабатывать залегающие на глубине рудные залежи.

Таким образом, к графикам распределения случайных величин можно отнести гистограмму, полигональный график, кумулятивный график и огиву.

Кроме графиков распределения случайных величин эмпирические данные большого объема можно представлять в виде простых графиков, диаграмм и статистических карт. Среди диаграмм выделяют диаграммы сравнения, структурные диаграммы. Наиболее распространенными среди диаграмм сравнения являются столбиковые диаграммы, среди структурных диаграмм наибольшую популярность имеют круговые секторные диаграммы, несущие ту же информацию, что и гистограммы и реже используются спиральные диаграммы, отражающие нередко сезонные колебания какого-либо признака.

Статистические карты представляют собой графические изображения распределения данных на геологической или географической карте на определенной территории. Средствами изображения могут быть штриховка, фоновая раскраска, геометрические фигуры или полигональные линии – изолинии (isos – равный, одинаковый подобный). Изолиния это линия одного значения, какого либо параметра, расположенная на карте, разрезе или плане. Изолиниями отражается непрерывное изменение параметра в зависимости от двух других переменных, наиболее часто изолиниями отражается изменение рельефа дневной поверхности территории или скрытой предполагаемой поверхности какого-либо стратиграфического горизонта (кровли или его подошвы), находящегося на большой глубине. В последнем случае положение изолиний обычно предполагается в каждой точке карты или рассчитывается по формулам (интерполируется) на основе редких точек наблюдений за положением кровли или подошвы данного стратиграфического горизонта. Часто изолиниями отражают изменения вредных примесей и полезных компонентов в рудах. С изолиниями тесно связан термин – гридирование (grid), когда изучаемую территорию разбивают на равные прямоугольники или квадраты и отображают изменение изучаемого параметра интерполированными значениями в этих квадратах или прямоугольниках, а затем по этим значениям и отстраивают изолинии.

Лекция 4

Многие математики, начиная с 18 века (Гаусс, Лаплас, Бернулли и другие) стали разрабатывать теоретические модели распределения дискретных случайных величин, используя для этого опыты типа “схемы урн”. Интерес математиков к этим исследованиям был в то время обусловлен развитием в Европе карточных игр. Позднее эти исследования явились отправной точкой развития статистики, которую успешно стали применять почти во всех науках, в том числе и в геологии.

Теоретические модели распределения дискретных случайных величин.

Биноминальное распределение.

Классический пример дискретного распределения приводится во всех учебных пособиях по теории вероятности и связан с бросанием монеты. Одно бросание монеты имеет два исхода: герб и решка, появление которых равно возможно и несовместно. Поэтому вероятность выпадения герба равна 0.5. Это означает, что при достаточно большом числе бросаний в половине случаев будет выпадать герб, а в половине случаев решка. Если вероятность выпадения одного герба равна 0.5, то вероятность выпадения двух гербов подряд при двух бросаниях равна 0.25, а вероятность выпадения трех гербов подряд при трех бросаниях равна 0.125 (теорема умножения вероятности). Предположим, что нужно определить вероятность выпадения одного герба в трех бросаниях. Имеются следующие возможные исходы (Г – герб, Р – решка).

ГГГ ГРГ РРР

ГГР РГГ [РГР]

[ГРР] [РРГ]

В скобках находятся комбинации, в которых выпало по одному гербу. Всего возможны три комбинации, в которых выпадает один герб при трех бросаниях или по другому возможны три комбинации с одним успехом в трех следующих друг за другом опытах. Символически это изображается как (ⁿ_r) или n по r, где n – это число опытов, а r – это число успехов. Число комбинаций в n опытах при r успехах легко рассчитать по формуле

n! / r!(n-r)! .

В данном случае

(ⁿ_r) = (³₁) = 3! / 1!*(3-1)! = 3*2*1 / 1*(2*1) = 6 / 2 = 3

Так же по этой формуле можно рассчитать число возможных комбинаций, содержащих 2, 3 или 0 успехов. Напомним, что 0! = 1, а не нулю. Число возможных комбинаций в 2 успехах равно 3, число комбинаций 3 успехов равно 1, и при нуле успехов число комбинаций также равно 1, при общем числе возможных комбинаций равном 8. Обозначим вероятность выпадения герба буквой p, а решки – буквой q, при чем ясно, что q = 1-p.

В этом случае мы можем переписать возможные исходы при трех бросаниях как

p³ p²q q

qp² qp² pq²

q²p q²p

Полную систему событий можно записать как

q³ +3q²p +3p²q +p³ =1 = (q+p)³

Так как по теореме сложения вероятности, верно, то, что любая из этих комбинаций обязательно произойдет, то полная вероятность равна 1. Это можно подтвердить и прямым расчетом

0.5³ + 3*0.5² + 3*0.5²*0.5 + 0.5³ = 0.125 + 0.375 + 0.375 + 0.125 = 1

Так как вероятности p и q являются членами бинома Ньютона, то и это распределение получило название биноминального распределения. Так как конкретное число комбинаций рассчитывается по формуле n! / r!(n-r)!, то общую формулу биноминального распределения можно написать как

P(n) = n!/r!(n-r)! *( p^r * q^n-r).

Эксперимент с бросанием монеты имеет три особенности:

1. В каждом испытании имеется только два возможных исхода – успех и неудача.

2. Исход каждого испытания не зависит от предыдущих исходов, и вероятность успеха остается постоянной.

3. Испытания повторяются заданное число раз.

Распределение вероятностей, соответствующее указанному типу экспериментов называется биноминальным распределением.

В качестве примера можно назвать предсказание успеха при бурении поисковых скважин, предназначенных для обнаружения какого-либо полезного ископаемого – нефти, газа, золота, железной руды и так далее.

Каждое испытание или бурение каждой скважины может быть классифицировано как “открытие” (успех), либо как “пустая скважина” (неудача). Успех или неудача при бурении каждой последовательной скважины не зависит от предыдущих результатов бурения, так же как и решение продолжать или не продолжать бурить. Число скважин ограничено денежными средствами, выделяемыми корпорациями или государством в конкретный период времени для поисков на данной территории. В данном случае биноминальное распределение будет подходящим для расчета вероятности успеха, то, есть для расчета вероятности открытия новых объектов, имея ограниченное количество средств. За вероятность открытия новых залежей на прогнозируемой территории могут приниматься субъективные оценки, научные разработки. Однако мы уже знаем, что в статистике используется подход, рассматривающий появление какого-либо события в предшествующем опыте. То есть прогнозирование новых залежей полезных ископаемых должно исходить из анализа, сколько раз были встречены новые залежи в похожих геологических условиях. Такой подход не противоречит научному подходу, он просто его дополняет, так как даже самые продвинутые научные достижения все равно включают некоторую долю неуверенности. Вероятность того, что при бурении на прогнозируемой территории среди n скважин (общего запланированного количества скважин) будет r успешных скважин можно рассчитать по формуле

P(r) = [n!/(r!*(n-r)!)] *( p^r * q^n-r).

Предположим, что мы хотим рассчитать вероятность успеха программы поисково-разведочных работ, включающей бурение 5 глубоких скважин на территории, хорошо изученной специалистами-геологами и научными работниками и выдвинувших смелые гипотезы о рудоносности конкретных тектономагматических структур, широко развитых на данной территории. Однако не смотря на то что уже доказано, что подобные структуры являются рудоносными, промышленные объекты были выявлены только в одном районе из десяти, в которых проводились поисково-разведочные работы, то есть вероятность успеха – обнаружение промышленных залежей полезных ископаемых в новом одиннадцатом районе равна 10%.

Какая вероятность того, что вся программа, включающая бурение только 5 скважин будет полностью провалена. В этом случае в биноминальное уравнение мы будем подставлять общее количество опытов n = 5, а число успехов r = 0, вероятность p = 0.1.

Тогда вероятность того, что в результате поисково-разведочных работ не одна из скважин не встретит залежь можно легко рассчитать, как

P (r) = (5!/5!*0!)*1*0.9⁵ = 1*1*0.59 = 0.59.

В этом случае вероятность полного провала данной программы будет составлять около 60%.

Какова вероятность, того, что одна из заявленных скважин подсечет залежь с промышленными содержаниями полезного компонента. В этом случае в биноминальное уравнение мы будем подставлять общее количество опытов n = 5, а число успехов r = 1, вероятность p = 0.1.

Тогда вероятность того, что в результате поисково-разведочных работ одна из скважин вскроет залежь можно легко рассчитать, как

P (r) = (5!/4!*1) *0.1 * 0.9⁴= 5*0.1*0.25 = 0.328.

В этом случае вероятность успеха будет составлять около 33%. Используя либо уравнение или таблицу биноминального распределения, она опубликована во многих учебных пособиях по статистике, легко найти вероятности всех возможных исходов в данной программе, включающей бурение только 5 скважин. Ясно, что увеличение количества скважин в данном проекте приведет к увеличению вероятности успешного его завершения. Приведенные расчеты могут быть весьма полезными для горнорудных корпораций или геологоразведочных компаний при составлении планов бурения на прогнозных территориях. Нужно добавить, что этот способ имеет еще одну очень важную особенность, скважины в пределах предполагаемых рудоносных структур должны располагаться случайным образом, отсюда этот способ расположения скважин для наилучшего достижения результата на изучаемой территории получил название метода дикой кошки (здесь подразумевается, что невозможно спрогнозировать направление каждого шага дикой кошки). Метод дикой кошки не противоречит научному подходу к решению данной проблемы, так как даже самые современные методы поисков и разведки и самые продвинутые научные гипотезы не позволяют определить точное положение залежей полезных ископаемых в земной коре, они могут только значительно сузить радиус поисков.