1 Гранні поверхні
1.1 Загальні відомості
Поверхня – одне з основних геометричних понять. Кожна з поверхонь визначається, переважно, як геометричне місце точок або ліній. Наприклад, поверхня кулі є геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від центра. У математиці поверхня розглядається як геометричне місце точок, які задовольняють певне алгебраїчне рівняння. Процес задання поверхонь найбільш загально розглядається як результат руху у просторі однієї лінії по іншій. Для розуміння процесу утворення поверхонь доцільно знати визначники поверхонь, якими є твірна та напрямна. Лінія, яка під час руху утворює дану поверхню, називається твірною, а лінія, по якій рухається твірна, - напрямною. Твірні та напрямні можуть бути прямими та кривими, можуть змінювати як положення, так і форму. Таке уявлення про поверхні є основою для розуміння при здійсненні графічних побудов.
Найпростішою (ідеальною) поверхнею є площина (рис.1.1), яка утворюється при русі однієї прямої лінії (твірної k) по іншій прямій лінії (напрямній l) за умови паралельності твірної у кожному наступному положенні до попереднього. Таку умову вважають законом руху твірної по напрямній.
Рисунок 1.1
При вивченні поверхонь розглядають найбільш простий спосіб її утворення. Поверхні, твірною яких є пряма лінія, називають лінійчастими; якщо твірною є крива лінія, то такі поверхні називають нелінійчастими або кривими. Всі поверхні також можна розділити на розгортні, які можна розгорнути (сумістити з площиною) та нерозгортні, які неможливо сумістити з площиною.
Поверхні також поділяються на закономірні, які описуються певними законами, і незакономірні (наприклад, земна поверхня). Найбільш загальне уявлення про поверхні дає наука топологія.
1.2 Гранні поверхні та багатогранники
1.2.1 Утворення гранних поверхонь
Багатогранною називається поверхня, утворена частинами перетинних площин (граней). Гранна, як будь-яка закономірна поверхня, утворюється в результаті руху твірної по напрямній. Серед гранних розрізняють пірамідальні та призматичні поверхні. Пірамідальна (рис.1.2,а) поверхня утворюється при русі твірної l по відкритій нерухомій ламаній напрямній АВС, коли один кінець твірної закріплений у вершині S.
a б
Рисунок 1.2
Інакше кажучи, декілька площин, (але не менше трьох), які перетинаються у точці S, утворюють пірамідальну поверхню. Призматична (рис 1.2,б), як частковий випадок пірамідальної поверхні, утворюється так само як пірамідальна, лише за умови, що вершина S знаходиться у “невласній” точці (у безмежності). Тут твірна l рухається по відкритій напрямній АВС, зберігаючи у кожному наступному положенні l1, l2, ... ln паралельність до заданого напрямку n.
1.2.2 Зображення багатогранників
Багатогранником називається об’ємне тіло, обмежене з усіх боків площинами, які називаються гранями. При зображенні багатогранника треба мати зображення його ребер (ліній перетину граней) та вершин (точок перетину ребер). Сукупність усіх ребер і вершин багатогранника називають його сіткою. Якщо багатогранник розташований по один бік від площини будь-якої грані, то його називають опуклим. Призматичні та пірамідальні поверхні належать до групи розгортних поверхонь, тобто таких, всі грані яких можна сумістити в одну площину. Якщо пірамідальну чи призматичну поверхні перетнути площиною Q, то отримаємо їх основи АВС (рис. 1.3).
Рисунок 1.3
У підсумку зазначимо, що при перетині бічних ребер призматичної поверхні двома паралельними площинами, отримаємо два рівні між собою многокутники з відповідно паралельними сторонами, які називають основами, а бічні грані у вигляді паралелограмів – гранями призми. Піраміди та призми можуть бути прямими (рис.1.4,а,в) та похилими (рис.1.4,б,г), правильними (рис.1.4,в) та неправильними (рис.1.4, а,б,г).
a б в г
Рисунок 1.4
Окрему групу правильних опуклих багатогранників складають тіла Платона, в яких усі ребра, грані, плоскі двогранні та просторові кути рівні між собою (рис. 1.5). Таких тіл є пять: а) тетраедр (чотиригранник), гранями якого є чотири рівносторонні трикутники; б) гексаедр (шестигранник або куб), гранями якого є шість квадратів; в) октаедр (восьмигранник), гранями якого є вісім рівносторонніх трикутників; г) додекаедр (дванадцятигранник), утворений з дванадцятьох рівносторонніх п’ятикутників; д) ікосаедр (двадцятигранник), утворений двадцятьма рівносторонніми трикутниками.
Рисунок 1.5 Рисунок 1.6
Комплексне креслення (епюр Монжа) найпростішого з них тетраедра представлено на рис.1.6.