5.3 Перетин прямої з кривими поверхнями
5.3.1 Перетин циліндра з прямою лінією
Розглянемо найпростіший випадок перетину прямої з поверхнею прямого кругового циліндра (рис.5.4). При цьому виділяють точки „входу” та „виходу” при перетині довільної поверхні з прямою лінією, для якої визначено початок і кінець. Так як циліндр займає проектуюче положення, то ця задача розв’язується безпосередньо (без додаткових побудов), так як проекція точки входу А1 буде на перетині кола основи циліндра з проекцією l1, а точка В1 з іншого боку кола основи. Частина прямої між точками А1 та В1 – невидима, так як проходить усередині циліндра. На фронтальній проекції пряму l2 показано також з урахуванням її видимості відносно проекції циліндра. Якщо вважати ліву частину прямої l початком, а праву – кінцем, то точка В буде точкою входу, а точка А – виходу.
5.3.2 Перетин конуса з горизонтальною прямою
Розглянемо ще один простий випадок перетину горизонтальної прямої t з поверхнею прямого кругового конуса (рис.5.5).
Для побудови точок входу і виходу через пряму t проведена допоміжна горизонтальна площина Г зі слідом
Г2 ≡t2 , яка відтинає від конуса коло радіусом, рівним відстані від його осі до твірної, заміряній на сліді Г2. Провівши цим радіусом коло з вершини S1, у перетині t1 з ним отримаємо проекції точок входу А1 та виходу В1 та побудуємо їх фронтальні проекції А2 та В2 Пряма t на проекціях показана з врахуванням видимості.
Рисунок 5.4 Рисунок 5.5
Розглянемо складнішу задачу побудови точок перетину прямої загального положення l з поверхнею конуса (рис.5.6).
Для побудови точок входу і виходу скористаємось властивістю перетину конуса по трикутнику площиною, яка проходить через його вершину. Для цього через довільно взяту точку К на прямій l та вершину S проведемо пряму m. Новоутворена площина, задана перетинними прямими (l × m), перетне поверхню конуса по трикутнику.
Побудуємо горизонтальний слід цієї площини, сполучивши точки М2 та М1, який в перетині з основою дає точки 11 та 21. Саме трикутник 1S2 з проекціями 11S121 та 12S222 є фігурою перерізу площини Σ з поверхнею конуса. Перетин лінії 11S1 та 21S1 з l1 дає точки входу А1 та В1, а по лінії зв’язку – А2 та В2. Проекції прямої l1 та l2 вказані з врахуванням видимості.
Рисунок 5.6
5.3.3 Перетин прямої з поверхнею кулі
Спочатку розглянемо перетин горизонтальної прямої l з поверхнею кулі (рис 15.7).
Рисунок 5.7 Рисунок 5.8
Для побудови точок входу і виходу через пряму l проведемо горизонтальну площину Г зі слідом Г2(Г2l2) і побудуємо з центра О1 коло радіусом r, який відтинає площина Г на сфері. Перетин цього кола з проекцією l1 дає ліворуч проекцію точки входу А1, праворуч – В1, а по лінії зв’язку – проекції А2 та В2. Для побудови точок перетину прямої загального положення t з поверхнею кулі застосований метод заміни площин проекцій. Суть побудови полягає у тому, що пряму t переводять у лінію рівня (горизонталь або фронталь).
Для побудови точок входу і виходу (рис.5.8) при перетині прямої t загального положення з поверхнею кулі на прямій поза сферою взяті довільні точки С та D.
Замінимо площину π2 на π4( π4 прямій t), розташувавши вісь х14 паралельно до проекції прямої t1 і знайдемо замінене положення проекції сфери з центром О4 та прямої l4, яка проходить через побудовані заново проекції точок С4 та D4. Координати z для цих точок і центра сфери показані відповідними рисками. Умовно відкинувши замінену площину π2, а з нею і фронтальну проекцію сфери та прямої t, маємо аналогічний випадок до представленого на рис 5.7. Провівши з точки О4 радіусом r1 коло, отримаємо точки А4 та В4, а зворотнім проеціюванням – проекції А1 та В1, а також А2 та В2 на t2. Тут також побудова здійснена з врахуванням видимості прямої відносно сфери на обох проекціях.
Запитання для самоперевірки
1 Опишіть суть способу побудови точок перетину прямої з кривою поверхнею.
2 Що називається розгорткою циліндричних та конічних поверхонь?
3 У чому суть наближеної побудови розгорток поверхонь циліндра та конуса?
4 Як побудувати розгортку поверхні циліндра?
5 Як побудувати розгортку поверхні конуса?
6 Як побудувати точки „входу” і „виходу” прямої з конічною поверхнею?
7 У чому суть побудови точок перетину прямої з поверхнею кулі?