4.3 Конічні перерізи

При вивченні цієї теми будемо розглядати тільки перерізи прямого кругового конуса. Конічними називають перерізи, утворені при перерізі прямого кругового конуса січними площинами. В результаті перерізу конуса січними площинами різного положення отримаємо такі фігури (рис.4.4):

1. коло – коли січна площина паралельна до основи конуса або перпендикулярна до його осі (рис.4.4,а).

2. трикутник – коли січна площина проходить через дві точки основи конуса та його вершину (рис.4.4,а);

3. еліпс, або його частина – якщо січна площина перетинає відповідно усі твірні під гострим кутом до його осі або перетинає частину основи і частину твірних (рис.4.4,б);

4. гіпербола – якщо січна площина проходить паралельно до осі конуса або під кутом γ , меншим від кута α нахилу твірної до осі γ < α (рис.4.4,б);

5. парабола – коли січна площина проходить паралельно до однієї твірної конуса γ = α (рис.4.4,б).

a б

Рисунок 4.4

Усі ці криві лінії, як результат перетину конуса площиною, є плоскими і в декартовій системі координат кожна з них, окрім трикутника, описується алгебраїчним рівнянням другого порядку, тобто квадратним рівнянням, тому вони є кривими другого порядку

4.4 Перетин конуса площинами різних положень

На рис.4.5 побудовано проекції та дійсну величину фігури перерізу прямого кругового конуса фронтально-проектуючою площиною Σ , яка перетинає усі його твірні.

Рисунок 4.5

Так як площина Σ₂ перетинає всі твірні конуса, то в результаті перерізу отримаємо еліпс. Велика його вісь лежить між точками А та В і проекція А₂ В₂ збігається зі слідом Σ₂. Горизонтальні проекції цих точок А₁ та В₁ лежать на горизонтальному діаметрі кола (на відповідних твірних конуса). Так як еліпс – симетрична замкнута фігура, то, поділивши відстань між точками А₂ та В₂ навпіл, отримаємо точки С_{2 } D₂ малої осі еліпса, горизонтальну проекцію яких отримаємо проведенням через них горизонтальної площини Г зі слідом Г₂. З точки S₁ проводимо коло радіусом r₁, який відтинає площина Г на конусі, і отримуємо проекції точок С₁ та D₁, відстань між якими є малою віссю еліпса. Дійсна величина еліпса побудована суміщенням площини Σ з горизонтальною площиною проекцій. Подальша побудова зрозуміла без пояснень, так як описана у попередніх лекціях.

На рис. 4.6 представлено побудову проекцій та дійсної величини фігури перерізу поверхні конуса горизонтально-проектуючою площиною Ф. В результаті перерізу утвориться плоска фігура, обмежена частиною гіперболи та відрізком (хордою) основи конуса. Спочатку знайдені проекції крайніх точок гіперболи 1₁ та 2₁ на колі основи конуса та їх фронтальні проекції 1₂ та 2₂.

Рисунок 4.6

Найвища точка гіперболи 3₂ (вершина) побудована з використанням горизонтально-проектуючої площини T(Т₁), яка проходить через точку S₁ перпендикулярно до сліду Ф₁. Провівши лінію зв’язку до побудованої допоміжної твірної S₂A_2, знайдемо цю найвищу точку 3₂. Для побудови фронтальної проекції гіперболи проведемо, як мінімум, ще дві допоміжні горизонтальні площини P та R, відповідно зі слідами P₂ та R₂, поділивши ними відстань від точки S₂ до основи конуса приблизно на три частини. На перетині кіл відповідних радіусів зі слідом Ф₁ отримаємо, відповідно, проекції точок 4₁ та 5₁, а також 6₁ та 7₁, фронтальні проекції яких будуть, відповідно, на слідах площин P₂ та R₂. Точка зміни видимості фронтальної проекції гіперболи 8₂ побудована від проекції 8₁ перетину сліду Ф₁ з правою окреслюючою твірною конуса. Дійсна величина фігури перерізу побудована суміщенням площини Ф з площиною π₁, де його суміщене положення Ф₂^С проходить до Ф₁ під кутом 90°. Для побудови точок (наприклад, точки 3с) гіперболи з точки 3₂ проведена горизонталь і отримана точка 3₂, з якої проведена дуга радіусом Ф_х3₂ на суміщений слід Ф₂^С_. З цієї точки проведена горизонталь, паралельна до сліду Ф₁ і на перетині з перпендикуляром, проведеним з проекції 3₁, отримаємо суміщене положення точки 3с. Побудова суміщених положень інших точок аналогічна. Варто зазначити, шо суміщених положень точок 1с та 2с будувати не потрібно, так як вони збігаються зі своїми горизонтальними проекціями 1с_1₁, 2с_2₁.

На рис. 4.7 представлено ще один приклад побудови фронтальної проекції гіперболи. Особливістю цієї задачі є те, що фігура перерізу проектується на фронтальну площину проекції в натуральну величину, так як конус перетинається площиною Δ, яка паралельна до фронтальної площини проекцій. Тут найвища точка 3₂ вершини гіперболи знаходиться на твірній SA, яка перпендикулярна до сліду площини, а точки 1₂ та 2₂ – на колі основи. Для побудови точки 3₂ твірна SA разом з точкою 3 повернута до положення правої окреслюючої твірної. За знайденою точкою 3₁¹ побудована фронтальна проекція 3₂¹, а потім точка 3₂. Інші точки на фронтальній проекції гіперболи побудовані також з використанням допоміжної горизонтальної січної площини Г.

На рис. 4.8 побудовано проекції та дійсну величину перерізу конуса фронтально-проектуючою площиною Г, слід якої Г₂ проходить паралельно до однієї твірної. Як відомо з попереднього тлумачення, при такому положенні січної площини в перерізі утвориться парабола. Нижні точки 1 та

Рисунок 4.7 Рисунок 4.8

2 на фронтальній проекції збігаються з точкою сходу слідів (Г_х1_22₂), а найвища 3 – на окреслюючій правій твірній конуса.

Проміжні точки 4, 5, 6 та 7 побудовані з використанням допоміжних горизонтальних площин зі слідами Р₂ та Т₂, які довільно вибрані.

Дійсна величина фігури перерізу побудована суміщенням площини Г з площиною π₁ (Г₂^С_х₁₂). Побудова суміщених положень усіх точок (крім 1с та 2с) зрозуміла з рисунка .