1.3 Деякі застосування частинних похідних

1.3.1 Вправи для аудиторної та самостійної роботи

1. Напишіть рівняння дотичної площинни та нормалі, проведеної до поверхні у точці (для завдань1-4).

1.1

1.2

1.3

1.4 , в точках перетину з віссю

2. Знайдіть похідну функції у точці у напрямку вектора, який утворює з координатними осями і відповідно кути і .

3. Знайдіть похідну функції в точці в напрямі до точки

4. Знайдіть похідну функції у точці за напрямом градієнта.

5. Знайдіть градієнт функції у точці .

6. Знайдіть точки, в яких градієнт функції дорівнює .

7. Знайдіть кут між градієнтами функції у точках та .

8. Знайдіть екстремуми функцій.

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

9. Знайдіть умовний екстремум функції .

9.1. якщо

9.2. якщо

9.3. якщо

9.4. якщо

9.5. якщо

9.6. якщо

10. Знайдіть найбільше та найменше значення функції у вказаній області .

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

1.4 Невизначений інтеграл

Поняття первісної і невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів. Методи Інтегрування: безпосереднє інтегрування, метод підстановки (заміни змінної), інтегрування частинами. Класи функцій, які інтегрують частинами.

1. Вправи для аудиторної та самостійної роботи

1.1. 1.2. 1.3.

1.4. 1.5. 1.6.

1.7. 1.8. 1.9.

1.10. 1.11. 1.12.

1.13. 1.14. 1.15.

1.16. 1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

2.Знайдіть інтеграли, використовуючи метод заміни змінної або внесення функції під знак диференціала.

2.1. а) б) в)

2.2. а) б)

2.3. а) б)

2.4. 2.5. 2.6.

2.7. 2.8. 2.9.

2.10. 2.11. 2.12.

2.13. 2.14. 2.15.

2.16. 2.17. 2.18.

2.1. 2.20. 2.21.

2.22. 2.23. 2.24.

2.25. 2.26. 2.27.

2.28. 2.29. 2.30.

2.31. 2.32. 2.33.

2.34. 2.35. 2.36.

2.37. 2.38. 2.39.

2.40.

3. Знайдіть інтеграли, використовуючи метод інтегрування частинами.

3.1. 3.2. 3.3.

3.4. 3.5. 3.6.

3.7. 3.8. 3.9.

3.10. 3.11. 3.12.

3.13. 3.14. 3.15.

3.16. 3.17. 3.18.

3.19. 3.20. 3.21.

3.22. 3.23. 3.24.

3.25. 3.26. 3.27.

3.28. 3.29.

4. Доведіть рекурентні формули.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

Відповіді

1.1. 1.2. 3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 2.1. а) б) в) 2.2. а) б) 2.3. а) ; б) 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. ×  2.15. 2.16. 2.17.  2.18. 2.19. 2.20. ^{2.21.  2.22.  2.23. 2.24.} х– 2.25. 2.26. 2.27.  2.28. 2.29. 2.30. 2.31. 2.32. де 2.33 2.34. 2.35. 2.36. 2.37. 2.38. 2.39. 2.40. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. × 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. – 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24. 3.25. 3.26. 3.27. 3.28. 3.29.