Міністерство освіти і науки,молоді та спорту України
Донбаська державна машинобудівна академія
К. В. Власенко, Л. А. Ісікова, О. О. Чумак
ВИЩА МАТЕМАТИКА
ВИБРАНІ РОЗДІЛИ (модуль 3)
ФУНКЦІЯ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ,
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ,
ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
Навчальний посібник
до практичних занять та самостійної роботи
Затверджено
на засіданні
вченої ради
протокол № від 2011
Краматорськ 2011
УДК 517.2(075.8)
ББК 22.11
В 58
Рецензенти:
Скафа О. І., доктор педагогічних наук, професор, завідувач кафедри вищої математики і методики викладання математики Донецького національного університету;
Труш Н. І., кандидат педагогічних наук, доцент кафедри геометрії та методики викладання математики Слов’янського державного педагогічного університету.
Власенко, К. В.
В 58 Вища математика. Вибрані розділи (модуль 3): функція кількох змінних, інтегральне числення функції однієї змінної, елементи лінійної алгебри: навчальний посібник до практичних занять та самостійної роботи / К. В. Власенко, Л. А. Ісікова, О. О. Чумак. – Краматорськ : ДДМА, 2011. – 58 с.
ISBN
Навчальний посібник містить набори навчальних завдань для аудиторної й домашньої самостійної роботи для студентів денної та заочної форм навчання. До кожної з тем модуля пропонуються програми корекції знань студентів, що включають: опис можливих помилок студентів; рекомендації щодо виправлення помилок (посилання на теоретичний виклад питання; приклади розв’язання аналогічних задач, вправ).
УДК 517.2(075.8)
ББК 22.11
|
ISBN |
© К. В. Власенко, Л. А. Ісікова, О. О. Чумак, 2011 © ДДМА, 2011 |
ЗМІСТ
Вступ 4
1 Вправи для проведення практичних занять 5
1.1 Функція кількох змінних 5
1.1.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи 5
1.1.2 Індивідуальні завдання 6
1.2 Похідні та диференціали функції кількох змінних ..8
1.2.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи ..8
1.2.2 Індивідуальні завдання ..9
1.3 Деякі застосування частинних похідних 13
1.3.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи 13
1.4 Невизначений інтеграл 15
1.4.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи 15
1.4.2 Індивідуальні завдання 18
1.5 Многочлени. Раціональні функції. 20
1.5.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи 20
1.5.2 Індивідуальні завдання 21
1.6 Інтегрування раціональних виразів 21
1.6.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи 21
1.6.2 Індивідуальні завдання 23
1.7 Інтегрування тригонометричних функцій............................................. 27
1.7.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи 27
1.7.2 Індивідуальні завдання 28
1.8 Інтегрування ірраціональних функцій................................................... 29
1.8.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи 29
1.8.2 Індивідуальні завдання 31
1.9 Матриці. Дії над матрицями. Знаходження оберненої матриці......... 34
1.9.1 Вправи до аудиторної та самостійної роботи 34
1.9.2 Індивідуальні завдання 36
2 Контрольні роботи 41
2.1 Варіанти контрольних робіт 42
2.2 Підготовка до захисту контрольних робіт 58
Література 59
Додаток А. Покажчик відповідей на питання 60
ВСТУП
Самостійне навчання передбачає активне опанування знань і свідоме користування ними: осмислене читання підручника й додаткової літератури, розкриття змісту спеціальних термінів і понять, точне їх визначення, доведення тих чи інших положень при розв'язуванні задач та під час відповідей на поставлені запитання. Навчальний посібник служить для поглибленого самостійного опрацювання курсу студентом й самоперевірки своїх знань з модуля «Математичний аналіз».
Навчальний посібник містить завдання для самостійного засвоєння модуля. Обсяги комплектів вправ дозволяють застосовувати їх для:
-
проведення практичних занять (аудиторної та самостійної роботи);
-
формування комплектів розрахунково-графічних завдань за всіма темами розділів (індивідуальні тестові завдання);
-
проведення тестування для самоперевірки окремо за кожним із розділів «Функція кількох змінних», «Інтегральне числення функції однієї змінної», «Матриці. Дії над матрицями»;
-
формування комплектів контрольних робіт для студентів денної форми навчання й студентів-заочників (контрольні роботи за модулем).
У посібнику до всіх контрольних (або самостійних) робіт пропонуються рекомендації щодо корекції знань студентів, які включають:
-
опис можливих питань студентів, що виникають під час розв’язування задач;
-
рекомендації щодо з’ясування питань (покликання на теоретичний виклад питання, на приклади правильного розв’язання аналогічних задач, вправ);
-
вправи, рекомендовані студентам для усунення помилок і закріплення навичок розв’язування задач.
-
Вправи для проведення практичних занять
-
Функція кількох змінних
Функція кількох змінних. Похідні та диференціали функції кількох змінних. Деякі застосування частинних похідних.
1.1.1 Вправи для аудиторної та самостійної роботи
1. Знайдіть
і зобразіть на площині
область визначення функцій.
1.1
. 1.2
.
1.3.
. 1.4.
.
1.5.
. 1.6.
.
2. Знайдіть
і зобразіть у просторі
область визначення функцій.
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
3. Обчисліть границю або доведіть, що вона не існує.
3.1.
. 3.2.
. 3.3.
3.4.
. 3.5.
. 3.6.
3.7.
. 3.8.
4. Дослідіть функцію на неперервність.
4.1.
. 4.2.
.
4.3.
4.4.
Знайдіть точки чи лінії розриву функції.
5.1.
. 5.2.
. 5.3.
.
Відповіді:
3.1.
Не існує. 3.2.
0.
3.3.
3.4.
0.
3.5.
.
3.6.
0.
3.7.
1.
3.8.
0.
4.1. Неперервна
при всіх значеннях
та
за винятком точок прямої
.
4.2. Неперервна
при всіх значеннях
та
.
4.4.
Неперервна при всіх значеннях
та
.
5.1.
–точка
розриву. 5.2.
Пряма
– лінія розриву. 5.3.
Сім’я прямих
–
лінії розриву.
1.1.2 Індивідуальн тестові завдання
1.
Знайдіть і зобразіть на площині
область визначення функції
.
1.1.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
1.5.
. 1.6.
.
1.7.
. 1.8.
.
1.9.
. 1.10.
.
1.11.
. 1.12.
.
1.13.
. 1.14.
.
1.15.
. 1.16.
.
1.17.
. 1.18.
.
1.19.
. 1.20.
.
1.21.
. 1.22.
.
1.23.
. 1.24.
.
1.25.
. 1.26.
.
1.27.
. 1.28.
.
1.29.
. 1.30.
.
2. Обчисліть границю або доведіть, що вона не існує.
2.1.
. 2.2.
.
2.3.
. 2.4.
.
2.5.
. 2.6.
.
2.7.
. 2.8.
.
2.9.
. 2.10.
.
2.11.
. 2.12.
.
2.13.
. 2.14.
.
2.15.
. 2.16.
.
2.17.
. 2.18.
.
2.19.
. 2.20.
.
2.21.
. 2.22.
.
2.23.
. 2.24.
.
2.25.
. 2.26.
.
2.27.
. 2.28.
.
2.29.
. 2.30.
.
1.2 Похідні та диференціали функції кількох змінних
1.2.1 Вправи для аудиторної та самостійної роботи
1.
Знайдіть повний і частковий прирости
функції
у точці
,
якщо: а)
б)
2.
Знайдіть повний приріст і повний
диференціал функції
при переході від точки
до точки
.
3.
Знайдіть
частинні похідні
та
функції
.
3.1.
3.2.
3.3.
. 3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
4.
Покажіть,
що функція
задовільняє рівняння.
4.1.
.
4.2.
4.3.
5. Обчисліть наближено за допомогою першого диференціала значення виразів.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
. 5.5.
6.
Знайдіть
диференціал
функцій.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
7.
Знайдіть
частинні похідні другого порядку функції
.
7.1.
7.2.
7.3.
Відповіді:
1.
а)
;
б)
.
2. 
.
3.1.
.
3.3.
.
3.4.
,
.
3.5.
3.7.
=
,
.
3.8.
3.9.
,
де
.
3.10.
,
де
.
3.11.
3.12.
.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
6.1.
.
6.2. 
6.3.
6.4
7.1
7.2
7.3
1.2.2 Індивідуальн тестові завдання
1.
Знайдіть частинні похідні
,
та повний диференціал
функції
.
1.1.
а)
б)
1.2.
а)
б)
1.3.
а)
б)
1.4.
а)
б)
1.5.
а)
б)
1.6.
а)
б)
1.7.
а)
б)
1.8.
а)
б)
1.9.
а)
б)
1.10.
а)
б)
1.11.
а)
б)
1.12.
а)
б)
1.13.
а)
б)
1.14.
а)
б)
1.15.
а)
б)
1.16.
а)
б)
1.17.
а)
б)
1.18.
а)
б)
1.19.
а)
б)
1.20.
а)
б)
1.21.
а)
б)
1.22.
а)
б)
1.23.
а)
б)
1.24.
а)
б)
1.25.
а)
б)
1.26.
а)
б)
1.27.
а)
б)
1.28.
а)
б)
1.29.
а)
б)
1.30.
а)
б)
2.
Знайдіть частинні похідні функції
,
де
і
мають вигляд:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.2.27.
2.28.
2.2.29.
2.30.
3.
Знайти диференціал
функції
у точці
.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
4.
Знайдіть другий диференціал
функції
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
