§3. Дифференцирование сложной функции

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем

.

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной сложной функции.

Пример 1.

Положим , где .

Тогда

.

Пример 2.

.

Обозначим . Тогда .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Пример 3.

.

Обозначим . Тогда .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

=.

Пример 4.

.

Положим .

Тогда .

.

Пример 5.

.

Если , то .

Следовательно,

.

Пример 6.

.

Положим , где , а .

Получаем

=.

Пример 7.

<1.

Если то , следовательно,

Выполним алгебраические преобразования и получим окончательно

.

Пример 8.

Имеем

Найти производные следующих сложных функций:

2.81.	.	Ответ: .
2.82.	.	Ответ: .
2.83.	.	Ответ: .
2.84.	.	Ответ: .
2.85.	.	Ответ: .
2.86.	.	Ответ: .
2.87.	.	Ответ: .
2.88.	.	Ответ: .
2.89.	.	Ответ: .
2.90.	.	Ответ: .
2.91.	.	Ответ: .
2.92.	.	Ответ: .
2.93.	.	Ответ: .
2.94.	.	Ответ:
2.95.	.	Ответ: .
2.96.	.	Ответ:
2.97.	.	Ответ: .
2.98.	.	Ответ: .
2.99.	.	Ответ: .
2.100.	.	Ответ: .
2.101.	.	Ответ: .
2.102.	.	Ответ: .
2.103.	.	Ответ: .
2.104.	.	Ответ: .
2.105.	.	Ответ: .
2.106.	.	Ответ: .
2.107.	.	Ответ: .
2.108.	.	Ответ: .
2.109.	.	Ответ:
2.110.	.	Ответ: .
2.111.	.	Ответ: .
2.112.	.	Ответ: .
2.113.	.	Ответ: .
2.114.	.	Ответ: .
2.115.	.	Ответ: .
2.116.	.	Ответ: .
2.117.	.	Ответ: .
2.118.	.	Ответ: .
2.119.	.	Ответ: .
2.120.	.	Ответ: .
2.121.	.	Ответ: .
2.122.	.	Ответ: .
2.123.	.	Ответ: .
2.124.	.	Ответ: .
2.125.	.	Ответ: .
2.126.	.	Ответ: .