7.2. Проведение корреляционного анализа

с помощью коэффициента парной корреляции

Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного типа объектов. Из этих данных можно получить качественно новую информацию – о взаимосвязи этих параметров.

Например, измеряем рост и вес человека или рост и размер обуви. Каждое измерение представлено точкой в двумерном пространстве:

Рис. 4

Несмотря на то, что величины носят случайный характер, в общем, наблюдается некоторая зависимость – величины коррелируют. В данном случае это положительная корреляция (при увеличении одного параметра второй тоже увеличивается).

Возможны также такие случаи ( рис.5-7):

Отрицательная корреляция:	Отсутствие корреляции:	Нелинейная корреляция:
Рис.5	Рис.6	Рис.7

Взаимосвязь между переменными необходимо охарактеризовать численно, чтобы, например, различать случаи, приведенные на рис.8 и рис.9.

Рис. 8 Рис. 9

Все, что мы видим на приведенных выше рисунках, называют диаграммой рассеивания.

Если облако точек напоминает очертания некоторой линии, то можно предполагать, что мы видим на диаграмме рассеяния именно такую по форме зависимость, однако искаженную воздействием как случайных, так и неучтенных факторов, вызывающим отклонение точек от теоретической формы.

Поскольку наиболее простой формой в математике является прямая пропорциональная зависимость, то в корреляционном и регрессионном анализе наиболее популярны линейные модели.

Для численных оценок вводится коэффициент корреляции (коэффициент парной корреляции) .

Для линейной связи переменных он рассчитывается по формуле Пирсона:

.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1. В данном случае это линейный коэффициент корреляции, он показывает линейную взаимосвязь между и x_i. Коэффициент корреляции равен 1 (или -1), если связь линейна.

Коэффициент парной корреляции вычисляется для количественных признаков. Коэффициент корреляции симметричен, т.е. не изменяется, если X и Y поменять местами, и  является величиной безразмерной.

Коэффициент корреляции не изменяется при изменении единиц измерения признаков X и Y.

Сам по себе коэффициент корреляции не имеет содержательной интерпретации. Однако его квадрат (r²), называемый коэффициентом детерминации (обозначается d и обычно выражается в %), имеет простой смысл – это показатель того, насколько изменения зависимого признака объясняются изменениями независимого.

Более точно, это доля дисперсии (разброса) одного признака, объясняемая влиянием другого (если связь интерпретировать как причинно-следственную).

Из определения коэффициента детерминации следует, что он принимает значения в диапазоне от 0 до 100%.

Если две переменные функционально линейно зависимы (точки на диаграмме рассеяния лежат на одной прямой), то можно сказать, что изменение одной из них полностью объясняется изменением другой. Это как раз тот случай, когда коэффициент детерминации равен 100%  (при этом коэффициент корреляции может быть равен как 1, так и –1).

Коэффициенты корреляции и детерминации

Если две переменные линейно независимы (метод наименьших квадратов, о котором пойдет речь в следующем параграфе, дает горизонтальную прямую), то одна из них в своих изменениях никоим образом не определяет другую – в этом случае коэффициент детерминации равен нулю. В остальных случаях коэффициент детерминации указывает, какая часть изменений одной переменной объясняется изменениями другой переменной.

Чем выше по модулю (по абсолютной величине) значение коэффициента корреляции, тем сильнее связь между признаками.

Принято считать, что коэффициенты корреляции, которые по модулю больше 0,7, свидетельствуют о сильной связи (при этом коэффициенты детерминации > 50%, т.е. один признак определяет другой более чем наполовину). Коэффициенты корреляции, которые по модулю меньше 0,7, но больше 0,5, говорят о связи средней силы (при этом коэффициенты детерминации меньше 50%, но больше 25%). Наконец, коэффициенты корреляции, которые по модулю меньше 0,5, говорят о слабой связи (при этом коэффициенты детерминации меньше 25%).

Оценить глубину и характер корреляционной связи можно, пользуясь табл. 2:

Таблица 2

	Глубина связи
=0	Отсутствует
	Слабая
	Умеренная
	Значительная
	Сильная
	Очень сильная
=1	Полная

Если >0, то связь прямая (положительная), при <0 связь обратная (отрицательная).

Методами корреляционного анализа решаются задачи:

1. Взаимосвязь. Есть ли взаимосвязь между параметрами?

2. Прогнозирование. Если известно поведение одного параметра, то можно предсказать поведение другого параметра, коррелирующего с первым.

3. Классификация и идентификация объектов. Корреляционный анализ помогает подобрать набор независимых признаков для классификации.