Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной

§ 1. Понятие производной

Пусть и - два значения аргумента, а и - соответствующие значения функции . Тогда разность называется приращением аргумента, а разность = - приращением функции на отрезке .

Производной от функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

,

или

.

Примечание.

Производная обозначается так же, как (Читается «дэ игрек по дэ икс».) Штрихом производная обозначается только в том случае, если она берется по .

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Исходя из определения производной можно найти производную любой дифференцируемой функции.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти производную функции

. (1)

Дадим приращение , тогда получит приращение :

,

отсюда

.

Функция задается формулой (1).

Тогда

=

= .

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

=.

Найдем предел этого отношения при :

=()=.

Следовательно, по определению производной,

.

2. Найти производную функции

. (2)

Находим приращение функции отсюда

=

и

=.

Таким образом,

Итак,

.

3. Найти производную функции

(3)

Находим приращение функции

Воспользуемся формулой

Отсюда

и

=.

Итак,

=.

Исходя из определения производной найти производные следующих функций:

		Ответ: 
		Ответ:
		Ответ:
		Ответ:
		Ответ:
	.	Ответ:
	.	Ответ:
	.	Ответ: 6∙(x1)