§5. Интервальная оценка. Интервальная оценка при малой выборке. Распределение Стьюдента

Точечная оценка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. При небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

В этом случае указывается интервал (доверительный интервал или доверительные границы), в котором с определенной (доверительной) вероятностью , которую иногда называют «надежностью», находится истинное значение исследуемой или измеряемой величины, например, среднее значение генеральной совокупности.

Иначе говоря, определяет вероятность, с которой осуществляются следующие неравенства:

,

где положительное число характеризует точность оценки. Интервал значений от до называется доверительным интервалом. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим получается доверительный интервал и, наоборот, чем больший доверительный интервал мы задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.

Сказанное выше относилось к большому числу измерений. При малом числе измерений (условно будем считать, что при n <30) распределение случайных величин носит несколько отличный от закона нормального распределения характер. Это распределение было выявлено в 1908 году английским математиком Госсетом, опубликовавшим работу на эту тему под псевдонимом «Стьюдент» -студент. Естественно, что при данной надежности доверительный интервал при малом числе измерений в серии должен быть шире, чем при большом числе измерений (чем меньше число измерений, тем больше среднее число измерений отличается от математического ожидания) и должен зависеть не только от, но и от n. Учитывая это, было предложено в случае небольшого числа измерений полуширину доверительного интервала (отклонение выборочного среднего от генерального среднего) вычислять через S и некоторый параметр , который называется коэффициентом Стьюдента и выбирается по заданным и n по таблицам (табл.1):

,

но тогда _.

Значение коэффициента Стьюдента

Таблица 1

n 	0,95	0,99	0,999	n 	0,95	0,99	0,999
1	12,706	63,657	636,619	18	2,103	2,878	3,922
2	4,303	9,925	31,598	19	2,093	2,861	3,883
3	3,182	5,841	12,941	20	2,086	2,845	3,850
4	2,776	4,604	8,610	21	2,080	2,831	3,819
5	2,571	4,032	6,859	22	2,074	2,819	3,792
6	2,447	3,707	5,950	23	2,069	2,807	3,767
7	2,365	3,499	5,405	24	2,064	2,797	3,745
8	2,306	3,355	5,041	25	2,060	2,787	3,725
9	2,262	3,250	4,781	26	2,056	2,779	3,707
10	2,228	3,169	4,587	27	2,052	2,771	3,690
11	2,201	3,106	4,487	28	2,048	2,763	3,674
12	2,179	3,055	4,318	29	2,045	2,756	3,659
13	2,160	3,012	4,221	30	2,042	2,750	3,646
14	2,145	2,977	4,140	40	2,021	2,704	3,551
15	2,131	2,947	4,073	60	2,000	2,660	3,460
16	2,120	2,921	4,015	120	1,980	2,617	3,374
17	2,110	2,898	3,965		1,960	2,576	3,291

Анализ табл. 1 для значений коэффициента Стьюдента показывает, что при числе наблюдений 30 и более (большая выборка) при доверительной вероятности 0,95 он оказывается равным 2, при доверительной вероятности 0,997 - Это означает, что для большой выборки мы опять пришли к нормальному закону распределения или, другими словами, распределение Стьюдента перешло в распределение Гаусса. Приведем (рис.3) график зависимости коэффициента Стьюдента от числа измерений для , который хорошо иллюстрирует только что сделанный вывод.

Рис. 3

Достаточно хорошо аппроксимировать его можно зависимостью: .