Глава 5 определенный интеграл

§1.Определенный интеграл и его непосредственное

Интегрирование

Определенным интегралом в пределах от а до b от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента x от значения x=a до значения x=b:

.

Основные свойства определенного интеграла

1.
2.
3.
4.
5.	, где С - постоянная величина.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Вычислить интеграл

.

Найдем одну из первообразных F(x) для функции 4x³ и вычислим значение определенного интеграла:

.

2. Вычислить интеграл

.

Используя правило вычисления определенного интеграла и его свойства, получим:

3. Вычислить интеграл

.

Первообразную F(x) для функции получим, вычислив неопределенный интеграл. Для этого введем новую переменную

U=sinx,

тогда

dU=cosxdx.

Неопределенный интеграл примет вид

Отсюда и определенный интеграл равен

.

4. Вычислить интеграл

.

Для нахождения соответствующего неопределенного интеграла применим формулу интегрирования по частям, т.е. полагая, что

Отсюда

Тогда .

Следовательно,

Вычислить определенные интегралы: