2. Оценка границ погрешности результата
ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ.
2.1. Оценка границ случайной погрешности прямого измерения
Пусть в некоторой серии опытов получены n значений физической величины x: x1, x2, ... , xn. Каждое отдельное измерение называют наблюдением; значения x1, x2, ... , xn - результатами наблюдений. В математической статистике доказывается, что наиболее близким к неизвестному истинному значению x0 физической величины является среднее арифметическое результатов наблюдений:
,
которое принято называть результатом измерения физической величины x.
Очевидно, что чем большее количество опытов проведено, тем ближе полученное значение x к истинному значению измеряемой величины.
только при n
→ ∞
Поскольку, однако, на практике невозможно провести бесконечного количества наблюдений, то необходимо для конечного числа опытов n оценить возможное отклонение <x> от x0 . Это делается с применением аппарата теории математической статистики.
Математической вероятностью P некоторого случайного события называется предел отношения числа случаев Δn, благоприятных данному событию к числу всех возможных случаев n, при стремлении последних к бесконечности
.
Математическая вероятность заключена в интервале 0 ≤ P ≤ 1.
dP = f(x)dx – вероятность попадания величины x в диапазон от x до x + dx (x [x, x + dx]).
– функция плотности
вероятности.
– условие нормировки
функции распределения.
Очень часто при измерениях физических величин распределение результатов наблюдений подчиняется так называемому нормальному распределению (распределению Гаусса1):
График этой зависимости представлен на рис. 1.
Рис. 1
Параметр σ называется средним квадратичным отклонением (он характеризует разброс значений), а D = σ2 – дисперсией распределения.
– доверительная
вероятность
Рис. 2
Доверительный интервал:
x0 = 
± Δx = 
± kσ
k – коэффициент надежности.
В зависимости от коэффициента надежности доверительная вероятность принимает различные значения:
k = 1, P = 0,6827;
k = 2, P = 0,9545;
k = 3, P = 0,9975.
Для нахождения σ необходимо провести бесконечно большое число наблюдений и построить f(x). В реальных условиях число наблюдений конечно, поэтому можно найти лишь приближенную оценку σ. Эта оценка называется средним квадратичным отклонением среднего арифметического:
только при достаточно
большом числе наблюдений (n > 30),
что в условиях учебной лаборатории не
реально.
В этом случае используют распределение Стьюдента (1908 г.)2 для малого числа n наблюдений.
Согласно результатам этой теории доверительная граница εx случайной погрешности измерения может быть найдена по формуле
,
где tP, n – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа опытов n и величины требуемого уровня достоверности результатов P (в лабораториях физического практикума принята величина P = 0,95).
Значения коэффициентов Стьюдента для доверительной вероятности P = 0,95 указаны в таблице 1.
|
n |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
t0,95; n |
12,7 |
4,30 |
3,18 |
2,77 |
2,57 |
2,45 |
2,36 |
2,31 |
2,26 |