2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики

Функции одной переменной делят на два класса по области существования.

Определение. Если областью существования функции служит множество натуральных чисел , то функцию называют последовательностью и обозначают , , и т. д.

Как правило, последовательность задают: формулой общего члена (например,) или рекуррентно (например, , т.е. через связь с предыдущими членами последовательности).

Определение. Если областью определения функции служит один или несколько интервалов числовой оси , или вся числовая ось, то функцию называют функцией непрерывного аргумента.

К основным элементарным функциям относятся:

– степенная функция , ;

– показательная функция , ;

– логарифмическая функция , ;

– тригонометрические функции . , , ;

– обратнотригонометрические функции , , , .

Графики и наиболее важные свойства основных элементарных функций приведены в таблице.

Таблица 2.2.3.

Основные элементарные функции

Функция	График		Свойства
			-четное Четная. Возрастает при . Убывает при .	-нечетное Нечетная. Возрастает при
			-четное Ни четная ни нечетная. Возрастает при	-нечетное Нечетная. Возрастает при

		, Ни четная ни нечетная. Возрастает при , если убывает , если .
		, Ни четная ни нечетная. Возрастает, если . Убывает , если
		Четная. Возрастает. Убывает . Периодическая .
		Нечетная. Возрастает . Убывает . . Периодическая .
			. . Нечетная. Возрастает . Периодическая .
			Нечетная. Убывает . Периодическая .
			Нечетная. Возрастает .
			Ни четная ни нечетная. Убывает . .
			Нечетная. Возрастает
			Ни четная, ни нечетная. Убывает .

Определение. Функции, составленные из основных элементарных функций, называются элементарными, если удовлетворяют двум условиям: задаются одним аналитическим выражением в области определения; представляют результат конечного числа алгебраических операций и операций взятия функции от функции.

Примеры. Неэлементарными функциями могут служить следующие функции:

1. – функция в области определения задана двумя аналитическими выражениями.

2. – формула, задающая функцию, состоит из бесчисленного числа операций.

Элементарные функции разделяют на два класса: алгебраические и трансцендентные функции.

Определение. Функция называется алгебраической, если её значение можно получить, производя над независимой переменной конечное число алгебраических действий: сложений, вычитаний, делений и возведений в степень с рациональным показателем.

Среди алгебраических функций в свою очередь выделяют:

1. Рациональные функции, если среди алгебраических действий, производимых над независимой переменной, отсутствует операция извлечения корня:

– многочлены , например, .

– дробно-рациональные функции (отношение многочленов)

,

например .

2. Иррациональные функции, если среди алгебраических действий, производимых над независимой переменной, есть операция извлечения корня, например: ; .

Определение. Функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

К трансцендентным функциям относятся:

– показательная;

– логарифмическая;

– тригонометрические;

– обратнотригонометрические;

– гиперболические .

Пример. – трансцендентные функции.