
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление 138
- •Раздел 2. Дифференциальное исчисление лекция 2.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества. Множество действительных чисел
- •2.1.1. Множества. Операции над множествами. Отображение множеств
- •Свойства.
- •2.1.2. Множество действительных чисел
- •Лекция 2.2. Переменная величина. Функция одной и нескольких переменных. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •2.2.1. Переменная величина
- •2.2.2. Функция одной и нескольких переменных
- •2.2.3. Способы задания функции
- •2.2.4. Основные свойства функции
- •2.2.5. Классификация функций. Основные элементарные функции, их свойства и графики
- •Основные элементарные функции
- •Лекция 2.3. Предел переменной величины. Предел последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •2.3.1. Предел переменной величины.
- •2.3.2. Предел функции
- •2.3.3.Бесконечно малая и бесконечно большая функции, их свойства
- •Лекция 2.4. Теоремы о пределах и их применение. Признаки существования пределов
- •2.4.1. Теоремы о пределах
- •2.4.2. Признаки существования пределов
- •Лекция 2.5. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •2.5.1. Первый замечательный предел
- •2.5.2. Второй замечательный предел
- •2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
- •Лекция 2.6. Приращение функции одной и двух переменных. Непрерывность функции одной и двух переменных. Точки разрыва
- •2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных
- •2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных
- •2.6.3. Точки разрыва
2.2.3. Способы задания функции
Наиболее распространены следующие способы задания функции: аналитический, графический и табличный.
I. Аналитический способ задания функции состоит в том, что дается формула, с помощью которой по значениям независимой переменной (независимых переменных) можно получить соответствующие им значения функции.
Функция, заданная аналитическим способом может быть задана: явно, неявно и параметрически.
Функция называется
явно заданной,
если она задана уравнением
,
разрешенным относительно зависимой
переменной
(зависимой переменной
).
Примеры.
1.
– явная функция одной переменной.
2.
– явная функция двух переменных.
Функция называется
неявно
заданной,
если она задана уравнением
– для функции одной переменной (
– для функции двух переменных), не
разрешенным относительно зависимой
переменной
(зависимой переменной
).
Аналогично
определяется неявно заданная функция
независимых переменных вида
,
где
.
Примеры.
1.
– неявно заданная функция одной
переменной.
2.
– неявно заданная функция двух переменных.
3.
– неявно заданная функция трех переменных.
Функция называется
параметрически
заданной,
если сама функция и её аргумент (аргументы)
заданы аналитическими выражениями,
зависящими от одного и того же параметра
:
– функция одной
переменной;
– функция двух переменных.
Исключая параметр, можно получить функцию явно или неявно заданную.
Пример.
– параметрически заданная функция
одной переменной. Исключим параметр
:
тогда
– неявно заданная функция одной
переменной.
Преимущества аналитического способа задания функции заключаются: – в сжатости, компактности задания;
– в возможности применить к данной функции аппарат математического анализа, поскольку он наилучшим образом приспособлен к аналитической форме задания функций.
II. Графический способ задания функции состоит в построении графика этой функции.
Определение.
Графиком
функции
называется геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют
уравнению
.
Графиком функции
одной переменной
является линия на плоскости.
Пример.
Функция
изображена в виде графика (рис. 2.2.3).
Графиком
функции двух переменных
является поверхность в трехмерном
пространстве.
Пример.
Графиком функции
является поверхность второго порядка
– эллиптический параболоид (см.
рис.2.2.4).
К графику функции
не может быть непосредственно применен
аппарат математического анализа. Наряду
с этим недостатком, график функции
обладает весьма важным преимуществом
– наглядностью, что делает его чрезвычайно
полезным при изучении функции
.
III. Табличный способ задания функции состоит в перечислении значений независимой (независимых) переменной (переменных) и соответствующих им значений функции, с последующим занесением их в таблицу:
Таблица 2.2.1
|
|
|
… |
|
|
|
… |
Таблица 2.2.2
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
Все вышеприведенные
определения, относящиеся к случаю
функции двух независимых переменных,
без существенных изменений переносятся
на случаи функции многих независимых
переменных. Заметим только, что
геометрическая иллюстрация функций от
независимых переменных при
теряет наглядность.