Лекция 2.6. Приращение функции одной и двух переменных. Непрерывность функции одной и двух переменных. Точки разрыва

2.6.1. Приращение функции одной и двух переменных

Рассмотрим функцию одной переменной, определенную на некотором отрезке .

Пусть некоторая точка и – значение функции в этой точке. Для точки зададим приращение . Тогда значение функции в новой точке есть . Таким образом, функция получит приращение : (см. рис. 2.6.1). называется приращением функции в точке и может обозначаться . называется приращением независимой переменной или приращением аргумента.

Рассмотрим – функцию двух переменных, определенную на некоторой области .

Так как функция зависит от двух переменных и , то приращение можно задать либо только для одного из аргументов, либо для обоих аргументов одновременно. В зависимости от того скольким переменным задается приращение, функция двух переменных может получить либо частное, либо полное приращения.

П усть некоторая точка и – значение функции в этой точке. Зададим приращение аргументу в точке : , оставляя без изменения. Тогда значение функции в новой точке есть .

Т аким образом, функция получает частное приращение по , которое обозначается :

(см. рис. 2.6.2)

Если задавать приращение для аргумента равное , оставляя при этом без изменения, то функция получит частное приращение по : (см. рис. 2.6.3).

Если задать приращение одновременно для двух аргументов – и , то функция получит полное приращение:

(см. рис. 2.6.4).

2.6.2. Непрерывность функции одной и двух переменных

Пусть – функция одной переменной. Рассмотрим два определения непрерывности этой функции в точке.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. .

Пример. Функция – непрерывна в любой точке .

Так как, , то . А это и означает, что функция непрерывна.

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, существуют конечные односторонние пределы функции в этой точке, которые равны между собой и равны значению функции в точке , т.е. , где . Иначе говоря, существует предел функции в точке и он равен значению функции в этой точке.

Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

Замечание. Все основные элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

Пусть – функция двух переменных.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и если бесконечно малым приращениям аргументов и соответствует бесконечно малое приращение функции – , т.е. .

Определение. Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной в этой области.

Сформулируем теоремы о непрерывных функциях, которые следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах (см. п. 2.4.1).

Теорема 1. Сумма, произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией непрерывной в той же точке.

Теорема 2. Частное двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если знаменатель отличен от нуля.

Теорема 3. Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.

Теорема 4. Функция, обратная к монотонной и непрерывной функции, непрерывна.

Непрерывность функции в замкнутом интервале обуславливает наличие у этой функции ряда важных свойств общего характера. Укажем некоторые из них.

Теорема 5. Функция, непрерывная в замкнутом интервале, хотя бы в одной точке интервала принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема 6. Функция, непрерывная в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в ноль внутри интервала.

Теорема 7. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 8. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между и .

Приведенные свойства можно перенести на функцию любого числа переменных, непрерывную в замкнутой области .