2.5.3. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и теоремы о них
При приближении к предельной точке, общей для нескольких бесконечно малых функций, скорость их стремления к нулю бывает различной. Сравнение таких бесконечно малых функций привело к понятию порядка малости.
Если
– бесконечно малая величина в окрестности
точки
,
т.е.
,
то
– бесконечно малая функция
–го
порядка малости.
Чем выше порядок малости, тем быстрее переменная стремится к нулю.
Чтобы сравнить две бесконечно малые функции надо найти предел их отношения.
Пусть
и
есть бесконечно малые функции при
,
т. е.
и
.
1. Если
,
то при
быстрее, чем
,
поэтому
– бесконечно
малая,
более высокого порядка малости.
2. Если
,
то при
быстрее, чем
,
поэтому
– бесконечно
малая,
более высокого порядка малости.
3. Если
,
то
и
– бесконечно
малые одного порядка малости.
4. Если
не существует, то
и
– несравнимые
бесконечно малые.
Отметим, что таковы
же правила сравнения бесконечно малых
функций при
.
Примеры.
1. Сравнить
порядок функций
и
при
.
Решение:
и
бесконечно малые функции одного порядка
при
.
2.
Сравнить порядок функций
и
при
.
Решение:
– бесконечно малая
более высокого порядка.
3.
Можно ли сравнить функции
и
при
?
Решение:
Рассмотрим
передел
.
Этот предел не существует при
функции
и
при
являются несравнимыми бесконечно малыми
функциями.
Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые функции.
Определение.
Бесконечно малые функции
и
называются эквивалентными
при
,
если
;
это обозначается так:
.
Пример.
при
,
так как
;
при
,
так как
.
Теорема 8. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.
Доказательство:
Пусть
и
при
.
Тогда
,
т.е.
.
Ч.
и т.
д.
Очевидно также,
что
.
Теорема 9. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая их них.
Теорема 10
(обратная). Если
разность бесконечно малых функций
и
есть бесконечно малая более высокого
порядка малости, чем
или
,
то
и
– эквивалентные бесконечно малые.
Терема 11. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Доказательство:
Докажем
теорему для двух функций. Пусть
,
при
,
причем
– бесконечно малая функция большего
порядка малости, чем
,
т.е.
.
Тогда
при
.
Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.
Замена суммы бесконечно малых величин её главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.
Пример.
Найти предел
.
Решение:
Так как
,
а
(так как
– бесконечно малая функция более низкого
порядка малости чем
)
при
(см. теорему 11), то
.
Для раскрытия
неопределенностей вида
часто бывает полезным применять принцип
замены бесконечно малых эквивалентными
и другие свойства эквивалентных
бесконечно малых функций.
Известно, что
при
,
при
.
Приведем еще примеры эквивалентных
бесконечно малых функций.
Примеры.
1. Найдем
.
Следовательно,
при
.
2. Покажем,
что
при
.
Т.е. докажем, что
.
Действительно,
.
Ч.
и т.
д. Значит,
при
.
Важнейшие эквивалентности приведены ниже:
при
|
1.
|
6.
|
|
2.
|
7.
|
|
3.
|
8.
|
|
4.
|
9.
|
|
5.
|
10.
в
частности,
|
Примеры.
1. Найти
.
Решение:
При
,
,
тогда
2. Найти
.
Решение:
При
,
тогда
.
Получаем
.
3. Найти
.
Решение:
При
,
тогда
.