Лекция 2.4. Теоремы о пределах и их применение. Признаки существования пределов

2.4.1. Теоремы о пределах

Правила, по которым находятся пределы функций, включают теоремы, справедливые для функции любого числа переменных при и при .

Эти теоремы позволяют находить пределы в тех случаях, когда функции представляют собой результат арифметических действий над другими функциями, пределы которых существуют и заранее известны.

Теорема 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. если , то .

Теорема 2. Предел суммы конечного числа функций в точке равен сумме пределов этих функций в этой точке:

.

Доказательство:

Приведем доказательство для суммы двух функций. Докажем, что .

Пусть и . Тогда по теореме 7 (п.2.3.3) можно записать и .

Следовательно, , где бесконечно малая функция как сумма бесконечно малых функций. Тогда по теореме 7 (п.2.3.3) можно записать , т.е.

. Ч. и т. д.

В случае разности двух функций и суммы любого конечного числа функций доказательство аналогично.

Следствие 1. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций в точке равен произведению пределов этих функций в этой точке:

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, делимому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

.

Примеры.

1. Найти .

Решение: В данном случае предел функции, стоящей в знаменателе, при отличен от нуля, поэтому можно применить приведенные выше теоремы:

.

Иначе говоря, в данном случае, чтобы найти предел, можно вместо независимой переменной подставить её значение в предельной точке.

2. Найти .

Решение: Функция , стоящая в знаменателе дроби при и стремится к числу , тогда

Пример аналогичен предыдущему: вместо независимых переменных необходимо подставить их значения в предельной точке.

3. Найти .

Решение: Предел знаменателя при равен нулю и теорема 4 не применима. В данном случае воспользуемся свойством бесконечно малой функции (см. п.2.3.3 теорема 6). Функция – бесконечно малая при , тогда обратная ей дробь – бесконечно большая функция, а значит .

Таким образом, если знаменатель дроби не обращается в ноль, то чтобы найти такой предел, достаточно в выражение функции подставить предельные значения независимых аргументов. Если же знаменатель стремиться к нулю , а числитель к некоторому постоянному числу, то при нахождении предела используют свойство бесконечно малой величины (см. п.2.3.3 теорема 6).

В случае неопределенных выражений, характеризуемых условно символами: (будем называть их неопределенностями), которые возникают при отыскании предела выражений: ; ; или предел может существовать или не существовать. В пределах такого типа, требуются дополнительные преобразования или специальные исследования. Рассмотрим некоторые из них.

I. Требуется найти предел дробно-рационального выражения вида (отношение двух многочленов) при , тогда в пределе будет иметь место неопределенность . Чтобы раскрыть её, необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на переменную в наибольшей степени.

Пример. .

Предел числителя равен , а знаменатель при сумма бесконечно малых величин, т.е. величина бесконечно малая, поэтому вся дробь – есть бесконечно большая величина, т.е. .

Пользуясь рассмотренным выше способом можно вывести правило раскрытия неопределенности в пределе отношения двух многочленов

Пример. , так как и , .

II. Пусть требуется найти предел дроби, числитель и знаменатель которой стремятся к нулю при , тогда в пределе будет иметь место неопределенность .

а) Если числитель и знаменатель – многочлены, то чтобы раскрыть данную неопределенность, необходимо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить дробь.

В некоторых случаях удобнее разделить числитель и знаменатель на критический множитель (для функции одной переменной), или воспользоваться определением предела.

Примеры.

1. (при сокращении на учитывается, что , но ).

2.

3. . Разделим числитель и знаменатель на критический множитель :

Тогда .

4. . Будем приближаться к началу координат по прямым , тогда . Имеем при ; при ; при и т.д. Отсюда следует, что предел этой функции не существует.

b) Если дробь является иррациональным выражением, в некоторых случаях, чтобы раскрыть данную неопределенность необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное иррациональному или применить подстановку.

Примеры.

1.. Умножим числитель и знаменатель на выражение – сопряженное числителю .

, таким образом .

2. . Выполним подстановку при

.

Таким образом, .