- •Лекции по математическому моделированию
- •Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
- •Элементарные математические модели
- •Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
- •4. Движение шара, присоединенного к пружине
- •Вариационные принципы и математические модели
- •Общая схема принципа Гамильтона.
- •Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
- •3. Колебания маятника в поле сил тяжести
- •4. Заключение
- •Универсальность математических моделей
- •1. Жидкость в u – образном сосуде.
- •2. Колебательный электрический контур.
- •3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.
- •4. Заключение.
- •Сохранение массы вещества
- •1. Поток частиц в трубе.
- •2. Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод.
- •3. Баланс массы в элементе грунта.
- •4. Замыкание закона сохранения массы.
- •5. О некоторых свойствах уравнения Буссинеска.
- •6. Основные выводы.
- •Сохранение энергии
- •1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
- •2. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.
- •3. Уравнение баланса тепла.
- •4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности.
- •5. Об особенностях моделей теплопередачи.
- •Совместное применение нескольких фундаментальных законов
- •1. Предварительные понятия газовой динамики.
- •2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
- •3. Уравнения движения газа.
- •4. Уравнение энергии.
- •Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде
- •Математическая модель фильтрации
- •Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации
- •Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
- •Математическое моделирование физических процессов
- •1. Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности Земли.
- •2. Задача об остывании тела.
- •3. Падение тел у земной поверхности.
- •4. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
- •5. Формула Стокса.
- •6. Сила гидравлического сопротивления.
- •Математическое программирование. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие математического программирования
- •2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие нелинейного программирования
- •2. Классификация методов нелинейного программирования
- •2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
- •4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
Рассмотрим такой пример:
максимизировать , при условиях
, , , .
Рис. 4.1
Каждое из этих неравенств определяет полуплоскости, пересечение которых дает многоугольник, «заштрихованный» на рис. 4.1. Этот многоугольник (выпуклый многогранник) и представляет собой допустимое множество решений задачи ЛП.
Теперь рассмотрим целевую функцию
,
пусть ее значения
.
График уравнения - прямая с отрезками на осях , .
.
При получим прямую .
Прямая параллельная прямой , но расположена выше от нее. Передвигая прямую вверх параллельно самой себе, приходим к такому ее положению, когда прямая и множество будут иметь только одну общую точку .
Очевидно, что точка - оптимальное решение, так как она лежит на прямой с максимально возможным значением . Заметим, что эта точка оказалась крайней точкой множества .
При векторной форме ограничения задачи ЛП записываются так:
, (3.1)
где
, , …, .
Рассмотрим допустимое множество в пространстве данных векторов.
Поскольку в формуле (3.1) , , то все положительные комбинации векторов образуют конус. Поэтому вопрос о существовании допустимых решений равнозначен вопросу о принадлежности вектора этому конусу.
Поскольку векторы , то среди них всегда обнаружится линейно-независимых векторов, образующих базис пространства и содержащих конус, образованный векторами .
Поэтому справедливо следующее утверждение. Если задача ЛП содержит переменных и ограничений, записанных в форме неравенств , не считая ограничений неотрицательности переменных , то в оптимальное решение входит не более чем ненулевых компонент вектора .
Расширенная форма задачи ЛП. Для решения задач ЛП необходимо переходить от ограничений - неравенств к ограничениям в форме уравнений. Для этого в каждое неравенство вводят по одной свободной переменной ,,…,, чтобы превратить его в равенство.
В таком виде задачу ЛП называют расширенной и записывают так:
максимизировать
, (3.2)
при ограничениях
,
,
…………………………………………………………………
.
В матричной форме эта задача имеет следующий вид:
максимизировать ,
при ограничениях
,
где
, . (3.3)
Наконец, векторная форма записи расширенной задачи ЛП:
максимизировать ,
при ограничениях
. (3.4)
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Пусть и - допустимые множества решений исходной и расширенной задач соответственно. Тогда любой точке допустимого множества решений соответствует единственная точка множества , и наоборот.
Установим отношение между элементами и :
исходная задача: ,
расширенная задача: .
На рис. 3.1 и 3.2 изображены допустимые множества решений обеих задач.
Очевидно, что треугольник ОСА (рис. 3.1) - допустимое множество - есть проекция допустимого множества (рис. 3.2) на подпространство .
В общем случае допустимое множество решений исходной задачи есть проекция допустимого множества решений расширенной задачи на подпространство исходных переменных .
Лекция №11.
Нелинейное программирование. Классификация методов нелинейного программирования. Задача нелинейного программирования при ограничениях неравенствах. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования