
- •Лекции по математическому моделированию
- •Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
- •Элементарные математические модели
- •Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
- •4. Движение шара, присоединенного к пружине
- •Вариационные принципы и математические модели
- •Общая схема принципа Гамильтона.
- •Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
- •3. Колебания маятника в поле сил тяжести
- •4. Заключение
- •Универсальность математических моделей
- •1. Жидкость в u – образном сосуде.
- •2. Колебательный электрический контур.
- •3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.
- •4. Заключение.
- •Сохранение массы вещества
- •1. Поток частиц в трубе.
- •2. Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод.
- •3. Баланс массы в элементе грунта.
- •4. Замыкание закона сохранения массы.
- •5. О некоторых свойствах уравнения Буссинеска.
- •6. Основные выводы.
- •Сохранение энергии
- •1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
- •2. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.
- •3. Уравнение баланса тепла.
- •4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности.
- •5. Об особенностях моделей теплопередачи.
- •Совместное применение нескольких фундаментальных законов
- •1. Предварительные понятия газовой динамики.
- •2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
- •3. Уравнения движения газа.
- •4. Уравнение энергии.
- •Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде
- •Математическая модель фильтрации
- •Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации
- •Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
- •Математическое моделирование физических процессов
- •1. Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности Земли.
- •2. Задача об остывании тела.
- •3. Падение тел у земной поверхности.
- •4. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
- •5. Формула Стокса.
- •6. Сила гидравлического сопротивления.
- •Математическое программирование. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие математического программирования
- •2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие нелинейного программирования
- •2. Классификация методов нелинейного программирования
- •2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
- •4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
Совместное применение нескольких фундаментальных законов
Законы сохранения массы, импульса, энергии используем для построения математической модели, описывающей течение сжимаемого газа. Обсудим отличия полученной модели от моделей, полученных ранее, а также некоторые следующие из нее свойства газодинамических движений.
1. Предварительные понятия газовой динамики.
Заметное
изменение плотностей жидкостей и твердых
тел может достигаться лишь при огромных
давлениях в десятки и сотни тысяч
атмосфер и выше. Газообразные среды
гораздо легче подвергаются сжатию: при
перепаде давления в одну атмосферу
плотность газа, первоначально находившегося
при атмосферном давлении, уменьшается
или увеличивается на величину, сопоставимую
с начальной его плотностью. В газовой
динамике, изучающей движение сжимаемых
сред под действием каких-либо внешних
сил или сил давления самого вещества,
считается выполненным неравенство
,
где
- длина свободного пробега,
-
характерные размеры области рассматриваемого
течения (сплошная среда). Считается
также выполненной гипотеза о ЛТР. В
условиях ЛТР сжимаемую среду можно
рассматривать как совокупность большого
числа жидких частиц, с размерами, много
большими
,
но много меньшими, чем
.
Для каждой такой частицы, связанной с
небольшой фиксированной массой среды,
вводятся характеризующие ее средние
величины – плотность
,
давление
,
температура
,
внутренняя энергия
и
т.д., а также скорость
ее
макроскопического движения как единого
целого. Все эти величины в общем случае
зависят от трех пространственных
переменных
и
времени
.
В дальнейшем будем также предполагать
отсутствие в среде процессов теплопередачи,
вязкого трения, источников и стоков
энергии, например, излучения, и, кроме
того, отсутствие внешних объемных сил
и источников (стоков) массы в веществе.
2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
Применим
рассуждения, аналогичные тем, которые
использовались для вывода уравнений
неразрывности для течения грунтовых
вод и процесса теплопередачи. Рассмотрим
в некоторой области пространства,
занятой движущимся газом, элементарным
кубом со сторонами
и
подсчитаем в нем баланс массы за время
(рис. 2.1).
Рис. 2.1
Здесь
–
компоненты скорости по соответствующим
осям. По оси
через
грань с координатой
в
кубик за время
поступает
масса газа, равная
,
поскольку
величина
ничто
иное, как поток массы по направлению
оси
.
За то же самое время из грани с координатой
вытекает
масса
,
где
через
обозначено
приращение потока массы при переходе
от координаты
к
координате
.
Суммируя оба последних выражения и
учитывая, что
,
получаем
величину изменения массы в кубе за время
благодаря
движению газа вдоль оси
:
. (1)
Таким
же образом находим изменения массы за
счет движения по осям
:
,
. (2)
В фиксированном объеме куба изменение находящейся в нем массы газа выражается также через изменение его плотности со временем:
. (3)
Суммируя
и
приравнивая результат к
,
получаем из (1) – (3) искомое уравнение
неразрывности
, (4)
выражающее закон сохранения массы вещества применительно к движению сжимающегося газа. По своей форме и смыслу (скорость изменения величины определяется дивергенцией потока этой величины) оно вполне аналогично уравнению неразрывностью. Однако аналогия с течением грунтовых вод на этом заканчивается. При свободном движении газа его динамика определяется лишь силами давления самого газа, в отличие от движения жидкости, испытывающей сопротивление сил грунта.