Числовые последовательности. Предел числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность : .

Иными словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: .

Числа называются членами последовательности, а число - общим, или -ым членом данной последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой его общего члена, которая позволяет вычислить любой член последовательности по номеру .

Примеры числовых последовательностей:

1) ;

2)

3)

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (число m), что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству . При этом число (число) называется верхней гранью (нижней гранью) последовательности , а неравенство называется условием ограниченности последовательности сверху (снизу).

Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть если существуют числа такие и , такие что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам:

В противном случае последовательность называется неограниченной. Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого выполняется неравенство . Аналогично определяется убывающая (невозрастающая) последователь­ность.

Все эти последовательности называются монотонными последовательностями.

Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу , то ее называют постоянной.

Другой способ задания числовых последовательностей - рекуррентный способ. В нем задается начальный элемент (первый член последовательности) и правило определения -го элемента по - му: .

Таким образом, , и т.д. При таком способе задания последовательности для определения 100-го члена надо сначала посчитать все 99 предыдущих.

Рассмотрим числовую последовательность

(1)

Изобразим ее члены точками числовой оси (рис.1).

Рис.1

Можно заметить, что члены последовательности с ростом как угодно близко приближаются к единице. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше. Действительно, , , , , …, , …, т.е. с ростом будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство

(2)

Предел числовой последовательности обозначается или при .

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Постоянная последовательность имеет предел равный числу .

Используя логические символы – квантор общности (вместо слова «для любого», «для всех», «для каждого»), квантор существования (вместо слова «найдется», «существует»), а также символ равносильности , определение предела можно записать в виде

.

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших члены последовательности как угодно мало отличаются от числа (по абсолютной величине меньше, чем на число , каким бы малым оно ни было).

Пример. Доказать, что для последовательности (1) .

Решение: Пусть, например, . Тогда неравенство (2) или , т.е. выполняется при . Аналогично, для при . Для любого неравенство (2) или выполняется при .

Итак, при любом существует такой номер (или равный целой части ), что для всех (при для , при для и т.д.) выполняется неравенство , а это и значит, что . 

Рассмотрим геометрический смысл предела числовой последовательности. Расположим члены последовательности на числовой прямой. Неравенство (2) равносильно двойному неравенству , соответствующему попаданию членов последовательности в -окрестности точки (рис.2).

Рис.2

Итак, число есть предел числовой последовательности , если для любого найдется номер , начиная с которого (при ) все члены последовательности будут заключены в -окрестности точки , какой бы узкой она ни была. Вне этой -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Для выяснения вопроса о существовании предела последовательности не всегда удобно. Сформулируем без доказательства признак существования предела.

Теорема (Вейерштрасса¹). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Возможны два случая:

а) последовательность неубывающая и ограничена сверху (рис. 3,а);

б) последовательность невозрастающая и ограничена снизу (рис. 3, б).

Рис.3