§13. Примеры решения задач о плоском движении твёрдых тел

1. Стержень длиной l = 0,85 м скользит по плоскости. В некоторый момент времени модули скоростей концов стержня стали равными v₁ = 1 м/с и v₂ = 1,5 м/с. При этом скорость первого конца стержня направлена под углом  = 30 к его оси. Определите угловую скорость вращения стержня вокруг его центра в этот момент времени.

2. Тонкая палочка АВ длиной L скользит по плоскости. В некоторый момент времени скорость конца А палочки оказалась направленной под углом  к оси палочки, а её модуль равен v. При этом скорость второго конца палочки направлена под углом  к оси палочки.

1) Определите точку С палочки, скорость которой направлена в этот момент времени вдоль её оси, и найдите модуль скорости этой точки. 2) Докажите, что модуль скорости точки С меньше модуля скорости любой другой точки палочки.

3. Тонкий прямой стержень АВ скользит по горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость центра стержня образует с его осью угол  = 60^° При этом модуль скорости конца А стержня равен v₁ = 1 м/с, а скорость конца В перпендикулярна скорости конца А. Определите модуль скорости центра стержня в этот момент времени.

4. Лодку подтягивают к пристани высотой Н с помощью верёвки, которую наматывают на вал лебёдки (рис. 25). Радиус вала лебёдки равен r. Вал вращают с постоянной угловой скоростью . Определите скорость лодки в тот момент времени, когда длина верёвки равна L.

Рис. 25

5. Колесо радиусом R катится без проскальзывания по горизонтальной прямолинейной дороге. При этом центр колеса движется прямолинейно с ускорением . Определите модуль ускорения верхней точки колеса в тот момент времени, когда скорость его центра станет равной .

6. Диск, поперечное сечение которого показано на рис. 26, движется по плоскости так, что в некоторый момент скорости его точек А и В параллельны плоскости и перпендикулярны оси диска, а их модули равны v_A и v_B. Определите модуль скорости точки С в этот момент времени, если АОС =  и все указанные точки находятся на одинаковом расстоянии от оси диска.

Рис. 26

7. На цилиндрическую ось катушки радиусом r намотана лёгкая нерастяжимая нить, отрезок АВ которой горизонтален (рис. 27). Катушка лежит на столе. В момент времени конец нити (точку А) начинают тянуть с постоянным горизонтальным ускорением а. При этом катушка начинает двигаться без проскальзывания так, что её ось не изменяет своей ориентации. Через какое время длина горизонтального участка нити изменится в n раз, если длина отрезка АВ была равна L₀, а внешний радиус катушки равен R?

8*. По горизонтальной крышке стола катятся два цилиндра, на которых лежит доска (рис. 28). Оси цилиндров параллельны, и они движутся без проскальзывания относительно стола и доски. Определите модуль скорости доски относительно стола в тот момент, когда модуль относительной скорости ближайших друг к другу точек цилиндров станет равным v, а плоскость доски образует с плоскостью крышки стола угол .

Рис. 28

9. Равносторонний треугольник АВС скользит по горизонтальному столу (рис. 29). Известно, что в некоторый момент времени модуль скорости точки А равен v_А, а модуль скорости точки В – v_В. При этом скорость центра треугольника направлена параллельно стороне СВ. Определите модуль скорости центра треугольника в этот момент времени.

Рис. 29

10. В некоторый момент времени скорости вершин А и В скользящего по плоскости квадрата ABCD оказались перпендикулярными друг другу, а скорость вершины C составила с прямой CD угол, тангенс которого равен 0,5, и стала равной . Определите модуль скорости точки М, являющейся серединой отрезка АВ.

11*. Катушку (рис. 30) тянут за намотанную на её среднюю часть лёгкую нерастяжимую нить так, что её конец (точка А) движется со скоростью под углом к горизонту. При этом катушка катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости, а её ось не изменяет своего направления. Определите модуль скорости оси катушки, если радиус r средней части катушки в раза меньше радиуса R её щёк.

Рис. 30

12*. На средние части двух одинаковых катушек, лежащих на горизонтальной плоскости, намотана тонкая нерастяжимая нить. Точку А этой нити, находящуюся на равных расстояниях от осей катушек, начинают перемещать вертикально вверх, как показано на рис. 31. При этом катушки начинают катиться без проскальзывания так, что их оси не изменяют своего направления. Найти модуль скорости сближения катушек в тот момент, когда модуль скорости точки А станет равным v, а угол 2 = = 120. Радиус средней части катушки в n = 2 раза меньше радиуса её щёк (торцов).

Рис. 31

86