- •Методическое пособие
- •1. Пояснительная записка
- •2. Учебно-методический материал
- •2.1. Методические указания
- •Тема: Интеграл и его приложения
- •2.2.Задания для самостоятельной работы
- •Контрольные задания
- •3.1. Теоретические вопросы:
- •Задания для контрольной работы
- •3.1. Рекомендации и требования к выполнению и оформлению контрольной работы
- •Методическое пособие
Тема: Интеграл и его приложения
По данной теме сначала изучите § 45-52 гл.8,9 [l]. Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по данной теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Решите задачи № 11-13, приведенные в пособии.
Неопределенный интеграл. Дифференцирование - это действие, с помощью которого по данной функции находится ее производная. Интегрирование - это действие, обратное дифференцированию. С помощью интегрирования по данной производной находится сама функция. Например, если
F/(x) =7x6, то F(x) =х7 так как (х7)/ = 7x6.
Дифференцируемая функция F(x), х(а;b) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если F'(x) = f(x) для каждого х (а;b).
Совокупность всех первообразных функций f(x) на интервале (а;b) называют неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и пишут =F(x) + C. Здесь f(x)dx - подынтегральное выражение; f(x) -подынтегральная функция; х - переменная интегрирования; С - произвольная постоянная.
Например, , так как
Приведем основные свойства неопределенного интеграла.
1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению:
ddx=f(x)dx.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной, т. е.
df(x) = F(x) + C.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:
Основные формулы интегрирования ( табличные интегралы)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. |
12. 13. 14 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. |
Методы интегрирования:
Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании свойств неопределенного интеграла и табличных интегралов.
Пример 1. Найти .
Решение. Имеем,
=++
Метод подстановки. Сущность интегрирования методом подстановки заключается в преобразовании интеграла в интеграл F(t)dt, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Пример 2. Найти .
Решение. Произведем подстановку 2-3x2 = t; тогда dt = - 6xdx, xdx=
Далее получаем,
Определенный интеграл. Непосредственное вычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона-Лейбница: = F(x) = F(b)-F(a), где а - нижний предел, b - верхний предел, F(x) - какая-нибудь первообразная функции f(x).
Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:
-
Находят одну из первообразных F(x) данной функции;
-
находят значения F(x) при х = а и х = b
-
вычисляют разность F(b) - F(a).
Приведем основные свойства определенного интеграла.
1. При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на противоположный: =-
2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части: = +
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: = c
-
Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых: =
Методы интегрирования определенного интеграла (Те же что и для неопределенного интеграла):
1. Непосредственное интегрирование.
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:
3=
3 3 (2 - 1) = 3
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. 1) Положим cos х = t; тогда t = -sin xdx и sin xdx = - dt.
2) Определим пределы интегрирования для переменной t: tн = Сos0 = 1; tв = Сos = 0.
3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и, перейдя к новым пределам, получим
==-.
Приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции аАВb, ограниченной графиком непрерывной функции у = f(x) , отрезком [а;b] оси Ох, отрезками прямых х = а и х = b, вычисляется по формуле S =.
Площадь фигуры ABCD, ограниченной графиками непрерывных функций у =f(x) и у = g(x), где x[a;b], отрезками прямых х = а и х = b, вычисляется по формуле
S =
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = x2 и у2 х.
Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций у = х2 и у2 = х. Для этого решим систему
х4 = х, х(х3 –1) = 0, х = 0 и х = 1.
Искомую площадь вычисляем по формуле S = при f(x) = х2, g(x)= : S = =