Вариант 28

1. Даны вершины треугольника A(2; 1), В(0; 7), С(-4; -1). Найти уравнение его медиан и точку их пересечения.

2. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M₁(2; -5) и отсекает отрезок втрое больше, чем на оси ординат (считая каждый отрезок, направленным от начала координат).

3. Даны уравнения сторон треугольника (АВ), (ВС), (АС). Найти угол между высотой, проведенной из вершины В и прямой, проведенной через точку С параллельно АВ.

4. Дана прямая . Найти уравнение прямой, параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии четырех единиц.

5. Плоскость α проходит через точку Р(2; 1; 1) и отсекает на осях ох и oy отрезки, соответственно равные 4 и -6. Плоскость β задана уравнением . При каких m и n плоскости будут параллельны?

6. Плоскость α проходит через точку M₁(5; 3; 2) и параллельна двум векторам и . Плоскость β проходит через точку Р₁(1; 1; 1), Р₂(2; 3; 2) и Р₃(3; 4; 2). Найти угол между плоскостями α и β.

7. Вычислить расстояние между плоскостями и .

8. Написать каноническое уравнения прямой .

9. Найти точку симметричную точке С(-1; 2; 0) относительно прямой , , .

10. При каком n плоскость будет параллельна прямой ? При найти точку пересечения и угол между прямой и плоскостью.

11. Прямая α проходит через точку M₁(3; 4; 7) и M₂(-1; 3; 3). Прямая β проходит через точку Р(3; 2; -1) параллельно прямой . Найти угол между прямыми α и β.

Вариант 29

1. Вершиной треугольника служит точка M₁(5; -3), а основанием – отрезок, соединяющий точки M₂(0; -1) и M₃(3; 3). Составить уравнение сторон треугольника и найти длину высоты треугольника.

2. Найти угол наклона к оси ох и начальную ординату прямой .

3. Стороны треугольника заданы уравнениями (АВ), (ВС), (АС). Найти углы, которые медиана ВМ образует со сторонами АВ и ВС.

4. Написать уравнение прямой, параллельной прямым и и проходящей посередине между ними.

5. Через точку пересечения плоскостей , , провести плоскость, параллельную плоскости . Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить.

6. Через точку Q(-1; 3; -8) проведены две плоскости, одна из них содержит ось Oy, другая Oz. Вычислить угол между этими плоскостями.

7. Плоскость проходит через точки M₁(0; 1; 2), M₂(2; 8; 3), M₃(3; -2; -1). Найти расстояние точки Р(5; -8; 6).

8. Написать каноническое уравнения прямой .

9. Доказать, что прямые и параллельны и найти расстояние между ними.

10. Прямая α проходит через точку А(1; -3; 6) параллельно оси Oy. Прямая β проходит через точку В(2; 1; -1) параллельно прямой . Найти угол между прямыми.

11. Прямая проходит через точки M₁(-1; 3; 0), M₂(1; 7; 3). Плоскость задана уравнением . При каких B и D прямая лежит в плоскости?

Вариант 30

1. Даны вершины четырехугольника ABCD: A(2; 1), B(5; 2), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагонали. Через вершину С провести прямую, параллельную диагоналям BD.

2. Дано уравнение прямой . Написать уравнение в отрезках и нормальное уравнение.

3. Найти внутренние углы треугольника, если даны уравнения его сторон: (АВ), (АС) и основание D(-1; 3) высоты AD.

4. Найти точку M симметричную точки N(7; -4) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -2) и В(1; 4).

5. Плоскость α проходит через точку M₁(1; 1; -4), M2(0; -1; -1), M₃(-1; 2; 12). Плоскость β задана уравнением . Показать, что плоскости параллельны, и выяснить, какая их них расположена ближе к точке Р(0; -7; 3).

6. Плоскость α проходит через точку M₁(2; -4; 3) и отсекает на оси Oy отрезок вдвое меньше чем на оси ox и втрое больше чем на оси oz. Плоскость β задана уравнением . При каких m и n плоскости параллельны? При m=-1, n=2 найти угол между ними.

7. Найти такое число а, чтобы четыре плоскости , , , проходили через одну точку.

8. Написать каноническое уравнения прямой .

9. При каких l и n прямая и плоскость будут перпендикулярны? При l=5, n=4 найти угол между ними.

10. Прямая α проходит через точку M₁(-1; 2; 4), перпендикулярно плоскости . Прямая β проходит через точки M₁(2; 3; -5) и M₂(-4; 0; 3). Найти угол между прямыми α и β.

11. Найти точку M симметричную точке Р(-1; 2; 4) относительно плоскости .